【徹底解説】同型写像と合成写像

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

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同型写像と合成写像

$V,V^{\prime}$を$\mK$上のベクトル空間とする。ただし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。このとき,つぎが成り立つ。

  • $V\cong V^{\prime}$かつ$V^{\prime}\cong V^{\prime\prime}$ならば$V\cong V^{\prime\prime}$

写像の同型性にも三段論法が成り立つことを表しています。すなわち,同型写像の合成写像が同型写像になることを示しています。

証明

$F:V\rightarrow V^{\prime}$,$G:V^{\prime}\rightarrow V^{\prime\prime}$とします。$F$と$G$は同型写像であることから,それぞれ全単射になります。全射・単射と合成写像より全単射の合成写像は全単射となるため,$F$と$G$の合成写像$G\circ F:V\rightarrow V^{\prime\prime}$も全単射になります。したがって,$V$と$V^{\prime\prime}$は同型になります。

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