【徹底解説】ベクトル空間の部分空間の定義

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

部分空間

Vをベクトル空間とする。Vの部分集合Wは,以下を満たすときVの部分空間と呼ばれる。

  1. u,vWならばu+vW
  2. uWならば任意の実数cに対してcuW
  3. Wは空でない

条件1と条件2は「加法とスカラー倍に関して閉じている」と表現されることもあります。特に,ベクトル空間の定義より,Vの任意の元に関して加法とスカラー倍が定義されていますので,V自身もVの部分空間となります。

補足

条件3は「ゼロベクトルを含むこと」と言い換えることができます。なぜなら,部分集合Wが空でないと仮定すると,wWとなる元が存在します。部分集合の定義より,wのスカラー倍もまたWに属しますので,スカラーとして0をとればゼロベクトルがWに属することが分かります。逆に,ゼロベクトルがWに属すると仮定すると,明らかにWは空ではありません。以上より,条件3が「ゼロベクトルを含むこと」と言い換えることができることを示せました。

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