【徹底解説】行列の階数(ランク)の性質

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

階数(ランク)の性質

行列の列階数と行階数は等しいことから,行階数と列階数を階数とよぶことにする。$m\times n$行列$A$の階数$r$は,以下と同等になる。

  1. $A$の列ベクトルのうち一次独立な列ベクトルの最大個数 [証明]
  2. $A$の行ベクトルのうち一次独立な行ベクトルの最大個数 [証明]
  3. 列空間の次元 [証明]
  4. 行空間の次元 [証明]
  5. $A$の小行列式のうち$0$とならない最大の次数 [証明]

行列のランクは一次独立・一次従属と密接な関係をもつ概念です。

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