本記事では，数学検定1級で頻出の微分方程式についてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
変数分離形
\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{y}{x(y+1)} \\[0.7em]
\frac{dy}{dx} &= (x + y)^2
\end{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{y}{x(y+1)} \\[0.7em]
\frac{dy}{dx} &= (x + y)^2
\end{align}
同次形
\begin{align}
(7x + 4y)\frac{dy}{dx} &= -8x -5y
\end{align}
(7x + 4y)\frac{dy}{dx} &= -8x -5y
\end{align}
一階非同次線形
\begin{align}
(x^2 + a^2)y^{\prime} + xy &= 1
\end{align}
(x^2 + a^2)y^{\prime} + xy &= 1
\end{align}
ベルヌーイの微分方程式
\begin{align}
x\frac{dy}{dx} + y &= y^2 \log x
\end{align}
x\frac{dy}{dx} + y &= y^2 \log x
\end{align}
完全微分方程式
\begin{align}
(3x^2 + \cos y) dx &= (2y - x\sin y) dy \\[0.7em]
(y + \log x)dx + x\log x dy &= 0
\end{align}
(3x^2 + \cos y) dx &= (2y - x\sin y) dy \\[0.7em]
(y + \log x)dx + x\log x dy &= 0
\end{align}
二階同次線形
\begin{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 4y &= 0
\end{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 4y &= 0
\end{align}
二階非同次線形
\begin{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= x^{2} \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= \sin x \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} \sin x \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} &= x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} &= x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{-x} \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= e^{-2x} \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{-x} x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= e^{-2x} x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= \sin -2x \\[0.7em]
y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 4y &= e^{-x} \sin \sqrt{3}x
\end{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= x^{2} \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= \sin x \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} \sin x \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} &= x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} &= x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{-x} \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= e^{-2x} \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{-x} x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= e^{-2x} x^2 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= \sin -2x \\[0.7em]
y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 4y &= e^{-x} \sin \sqrt{3}x
\end{align}
オイラーの微分方程式
\begin{align}
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 3x\frac{dy}{dx}+ 4y &= x^2\log x
\end{align}
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 3x\frac{dy}{dx}+ 4y &= x^2\log x
\end{align}
クレローの微分方程式
\begin{align}
y &= xy^{\prime} + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
y &= xy^{\prime} + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
ラグランジュの微分方程式
\begin{align}
y &= (y^{\prime}+1)x + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
y &= (y^{\prime}+1)x + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
リッカチの微分方程式
\begin{align}
y^{\prime}&=e^x-y+e^{-x}y^2
\end{align}
y^{\prime}&=e^x-y+e^{-x}y^2
\end{align}
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