本稿では，代表的な微分方程式の解法をお伝えします。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
変数分離形の微分方程式
\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{y}{x(y+1)} \\[0.7em]
\frac{dy}{dx} &= (x + y)^2
\end{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{y}{x(y+1)} \\[0.7em]
\frac{dy}{dx} &= (x + y)^2
\end{align}
同次形の微分方程式
\begin{align}
(7x + 4y)\frac{dy}{dx} &= -8x -5y
\end{align}
(7x + 4y)\frac{dy}{dx} &= -8x -5y
\end{align}
一階線形微分方程式
\begin{align}
(x^2 + a^2)y^{\prime} + xy &= 1
\end{align}
(x^2 + a^2)y^{\prime} + xy &= 1
\end{align}
ベルヌーイの微分方程式
\begin{align}
x\frac{dy}{dx} + y &= y^2 \log x
\end{align}
x\frac{dy}{dx} + y &= y^2 \log x
\end{align}
完全微分方程式
\begin{align}
(3x^2 + \cos y) dx &= (2y - x\sin y) dy \\[0.7em]
(y + \log x)dx + x\log x dy &= 0
\end{align}
(3x^2 + \cos y) dx &= (2y - x\sin y) dy \\[0.7em]
(y + \log x)dx + x\log x dy &= 0
\end{align}
二階同次線形微分方程式
\begin{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 4y &= 0
\end{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 4y &= 0
\end{align}
二階非同次線形微分方程式
\begin{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= x^{2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= \sin x\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x}x^{2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} \sin x\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} &= x^{2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} &= x^{2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{-x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y &= e^{-2x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= x^{2}e^{-x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y &= x^{2}e^{-2x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 4y &= e^{-x} \sin \sqrt{3}x
\end{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= x^{2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= \sin x\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x}x^{2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} \sin x\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} &= x^{2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} &= x^{2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{-x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y &= e^{-2x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= x^{2}e^{-x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y &= x^{2}e^{-2x}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 4y &= e^{-x} \sin \sqrt{3}x
\end{align}
オイラーの微分方程式
\begin{align}
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 3x\frac{dy}{dx}+ 4y &= x^2\log x
\end{align}
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 3x\frac{dy}{dx}+ 4y &= x^2\log x
\end{align}
クレローの微分方程式
\begin{align}
y &= xy^{\prime} + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
y &= xy^{\prime} + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
ラグランジュ（ダランベール）の微分方程式
\begin{align}
y &= (y^{\prime}+1)x + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
y &= (y^{\prime}+1)x + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
リッカチの微分方程式
\begin{align}
y^{\prime}&=e^x-y+e^{-x}y^2
\end{align}
y^{\prime}&=e^x-y+e^{-x}y^2
\end{align}
線形微分方程式の級数解法
\begin{align}
y^{\prime\prime}-\frac{x}{x-1}y^{\prime}+\frac{y}{x-1} &= x-1
\end{align}
y^{\prime\prime}-\frac{x}{x-1}y^{\prime}+\frac{y}{x-1} &= x-1
\end{align}
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