本稿では，代表的な微分方程式の解法をお伝えします。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
線形微分方程式の級数解法
以下の形をしたも微分方程式は級数解法で解くことができます。
\begin{align}
P_{0}(x)y^{(n)}+P_{1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_{n}(x)y = Q(x)
\end{align}
P_{0}(x)y^{(n)}+P_{1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_{n}(x)y = Q(x)
\end{align}
解法
\begin{align}
y &= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
\end{align}
y &= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
\end{align}
とおいて与式に代入し，得られる$a_{n}$の漸化式から係数を求める。
$x=x_{0}$で$P_{1},\ldots,P_{n}$が定義されない場合は分母を払って置換すればよいです。
例題
以下の例題を解きましょう。ただし，初期条件は与えないため定数項はそのまま残してよいです。
\begin{align}
y^{\prime\prime}-\frac{x}{x-1}y^{\prime}+\frac{y}{x-1} &= x-1
\end{align}
y^{\prime\prime}-\frac{x}{x-1}y^{\prime}+\frac{y}{x-1} &= x-1
\end{align}
解答
両辺に$x-1$をかけて$z=x-1$とおくと，
\begin{align}
zy^{\prime\prime}-(z+1)y^{\prime}+ y &= z^{2}\label{与式}
\end{align}
zy^{\prime\prime}-(z+1)y^{\prime}+ y &= z^{2}\label{与式}
\end{align}
となります。ここで，
\begin{align}
y &= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}
\end{align}
y &= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}
\end{align}
とおくと
\begin{align}
y^{\prime} &= \sum_{n=0}^{\infty}na_{n}z^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} &= \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)a_{n}z^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)a_{n+2}z^{n}
\end{align}
y^{\prime} &= \sum_{n=0}^{\infty}na_{n}z^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} &= \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)a_{n}z^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)a_{n+2}z^{n}
\end{align}
となるため，式($\ref{与式}$)代入すると，
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)a_{n+2}z^{n+1}
- \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}(z+1)
+ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}
&= z^{2}\label{代入後}
\end{align}
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)a_{n+2}z^{n+1}
- \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}(z+1)
+ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}
&= z^{2}\label{代入後}
\end{align}
が得られます。左辺を$\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}$で括るために整理します。第一項目は
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)a_{n+2}z^{n+1}
&= \sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)a_{n+1}z^{n}
\end{align}
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)a_{n+2}z^{n+1}
&= \sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)a_{n+1}z^{n}
\end{align}
となり，第二項目は
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}(z+1)
&= \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}\\[0.7em]
&= \sum_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n} + \left(a_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}\right)
\end{align}
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}(z+1)
&= \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}\\[0.7em]
&= \sum_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n} + \left(a_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}\right)
\end{align}
となり，第三項目は
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}
&= a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}
\end{align}
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}
&= a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}
\end{align}
となります。これらより，式($\ref{代入後}$)は
\begin{align}
&\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)a_{n+1}z^{n}
{-} \left(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n} {+} a_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}\right)
{+} a_{0} {+} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}\notag\\[0.7em]
&= a_{0} - a_{1} + \sum_{n=1}^{\infty}\left\{(n+1)(n-1)a_{n+1}-(n-1)a_{n}\right\}z^{n}
= z^{2}
\end{align}
&\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)a_{n+1}z^{n}
{-} \left(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n} {+} a_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^{n}\right)
{+} a_{0} {+} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}\notag\\[0.7em]
&= a_{0} - a_{1} + \sum_{n=1}^{\infty}\left\{(n+1)(n-1)a_{n+1}-(n-1)a_{n}\right\}z^{n}
= z^{2}
\end{align}
と表されます。$z$の係数に注目すると，$n=1$のとき
\begin{align}
a_{0}-a_{1} &= 0
\end{align}
a_{0}-a_{1} &= 0
\end{align}
が得られ，$n=2$のとき
\begin{align}
3a_{3}-a_{2} &= 1
\end{align}
3a_{3}-a_{2} &= 1
\end{align}
が得られ，$n\geq 3$のとき
\begin{align}
(n+1)(n-1)a_{n+1}-(n-1)a_{n} &= 0
\end{align}
(n+1)(n-1)a_{n+1}-(n-1)a_{n} &= 0
\end{align}
が得られます。これらの漸化式を解くと，
\begin{align}
a_{0} = a_{1},\quad
a_{2} = 3a_{3} - 1,\quad
a_{n} = \frac{3!a_{3}}{n!}
\end{align}
a_{0} = a_{1},\quad
a_{2} = 3a_{3} - 1,\quad
a_{n} = \frac{3!a_{3}}{n!}
\end{align}
となります。したがって，解は
\begin{align}
z &=
a_{0} + a_{0}z + (3a_{3}-1)z^{2} + 6\sum_{n=3}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\\[0.7em]
&= a_{0} + a_{0}z + (3a_{3}-1)z^{2} + 6\left(e^{z}-1-z-\frac{z^{2}}{2}\right)\\[0.7em]
&= a_{0} - 6a_{3} + (a_{0}-6a_{3})z - z^{2} + 6a_{3}e^{z}
\end{align}
z &=
a_{0} + a_{0}z + (3a_{3}-1)z^{2} + 6\sum_{n=3}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\\[0.7em]
&= a_{0} + a_{0}z + (3a_{3}-1)z^{2} + 6\left(e^{z}-1-z-\frac{z^{2}}{2}\right)\\[0.7em]
&= a_{0} - 6a_{3} + (a_{0}-6a_{3})z - z^{2} + 6a_{3}e^{z}
\end{align}
となるため，$z=x-1$を戻して定数を$C_{1},C_{2}$とおくと，
\begin{align}
y &= \frac{6a_{3}}{e}e^{x} - x^{2} + (a_{0}-6a_{3}+2)x - 1\\[0.7em]
&= C_{1}e^{x} - x^{2} + C_{2}x - 1
\end{align}
y &= \frac{6a_{3}}{e}e^{x} - x^{2} + (a_{0}-6a_{3}+2)x - 1\\[0.7em]
&= C_{1}e^{x} - x^{2} + C_{2}x - 1
\end{align}
が得られます。
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