【初学者向け】ラグランジュの微分方程式

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事では,数学検定1級で頻出の微分方程式についてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

ラグランジュの微分方程式

以下の形をしたものをラグランジュの微分方程式と呼びます。

\begin{align}
y &= f(y^{\prime})x + g(y^{\prime})
\end{align}

クレローの微分方程式において,$x$の係数が$p$の関数となっている方程式です。

解法

クレローの微分方程式同様,$p=y^{\prime}$と置いて両辺を$x$で微分すると,一階非同次形微分方程式が得られます。

例題

以下の例題を解きましょう。ただし,初期条件は与えないため適切な定数項を設定します。

\begin{align}
y &= (y^{\prime}+1)x + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}

$p=y^{\prime}$と置くと,

\begin{align}
y &= (p+1)x+p^2 \label{主題}
\end{align}

となります。両辺を$x$で微分します。

\begin{align}
y^{\prime} &= p^{\prime}x+(p+1)+2pp^{\prime}
\end{align}

$p=y^{\prime}$に注意すると,

\begin{align}
(x+2p)\frac{dp}{dx} &= -1
\end{align}

と変形できます。すると,以下の一階線形微分方程式が得られます。

\begin{align}
\frac{dx}{dp} +x = -2p
\end{align}

一階線形微分方程式で説明した解法に基づくと,

\begin{align}
x &= -2p+2+Ce^{-x} \label{解}
\end{align}

が得られます。式$\ref{主題}$と式($\ref{解}$)より,以下の媒介変数表示が得られます。

\begin{cases}
x = -2p+2+Ce^{-x} \\[0.7em]
y = (p+1)x + p^2
\end{cases}

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