本記事では，数学検定1級で頻出の微分方程式についてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
ラグランジュの微分方程式
以下の形をしたものをラグランジュの微分方程式と呼びます。
\begin{align}
y &= f(y^{\prime})x + g(y^{\prime})
\end{align}
y &= f(y^{\prime})x + g(y^{\prime})
\end{align}
クレローの微分方程式において，$x$の係数が$p$の関数となっている方程式です。
解法
クレローの微分方程式同様，$p=y^{\prime}$と置いて両辺を$x$で微分すると，一階非同次形微分方程式が得られます。最終的には，$p$を媒介変数とする解が得られます。
例題
以下の例題を解きましょう。ただし，初期条件は与えないため適切な定数項を設定します。
\begin{align}
y &= (y^{\prime}+1)x + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
y &= (y^{\prime}+1)x + \left( y^{\prime}\right)^2
\end{align}
$p=y^{\prime}$と置くと，
\begin{align}
y &= (p+1)x+p^2 \label{主題}
\end{align}
y &= (p+1)x+p^2 \label{主題}
\end{align}
となります。両辺を$x$で微分します。
\begin{align}
y^{\prime} &= p^{\prime}x+(p+1)+2pp^{\prime}
\end{align}
y^{\prime} &= p^{\prime}x+(p+1)+2pp^{\prime}
\end{align}
$p=y^{\prime}$に注意すると，
\begin{align}
(x+2p)\frac{dp}{dx} &= -1
\end{align}
(x+2p)\frac{dp}{dx} &= -1
\end{align}
と変形できます。すると，以下の一階線形微分方程式が得られます。
\begin{align}
\frac{dx}{dp} +x = -2p
\end{align}
\frac{dx}{dp} +x = -2p
\end{align}
一階線形微分方程式で説明した解法に基づくと，
\begin{align}
x &= Ce^{-p}-2p+2\label{解}
\end{align}
x &= Ce^{-p}-2p+2\label{解}
\end{align}
が得られます。式($\ref{主題}$)と式($\ref{解}$)より，以下の媒介変数表示が得られます。
\begin{cases}
x = Ce^{-p}-2p+2 \\[0.7em]
y = (p+1)x + p^2
\end{cases}
コメント
コメント一覧 （3件）
合っているか自信がないのですが、(7)の式の右辺の最後の項のeの指数は-xではなく、-pではないでしょうか？
tomi様
ご質問ありがとうございます！そしてご返信遅れてしまい大変失礼しました。こちら確認後返信差し上げますので，少々お待ちください。
tomi 様
ご返信遅れてしまい，大変失礼しました。仰る通りですので，本文を修正致しました。ご指摘誠にありがとうございます。