本稿では，代表的な微分方程式の解法をお伝えします。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
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二階非同次線形微分方程式
次の形をした微分方程式を，二階非同次線形微分方程式と呼びます。
\frac{d^2 y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y &= R(x)
\end{align}
解法
$P(x)$と$Q(x)$が定数でない場合は，オイラーの微分方程式とそれ以外に分類され，後者は定数変化法によって解を求めることができます。定数変化法は大学の期末テスト等では出題される可能性はありますが解説の対象外とし，$P(x)$と$Q(x)$が定数である場合の非同次線形微分方程式とオイラーの微分方程式を扱うことにします。特に本稿では，$P(x)$と$Q(x)$が定数である場合の非同次線形微分方程式を扱います。
\frac{d^2 y}{dx^2} + p \frac{dy}{dx} + q y &= R(x) \label{定数係数非同次微分方程式}
\end{align}
式($\ref{定数係数非同次微分方程式}$)で$R(x){=}0$とおいた方程式は同次方程式と呼ばれ，元の$R(x){\neq}0$である微分方程式は非同次方程式と呼ばれます。非同次方程式の一般解を$y$，非同次方程式の特殊解を$Y$，同次方程式の一般解を$y_c$と置くと，次のような関係があります。
y &= y_{c} + Y \label{非同次方程式の解き方}
\end{align}
非同次方程式の一般解を求めたければ，特殊解$Y$に同次方程式の一般解$y_c$を加えてあえればよいのです。この関係はおまじないではありませんので，怖がる必要はありません。まず，式($\ref{定数係数非同次微分方程式}$)を満たす特殊解$Y$が見つかったと仮定します。
\frac{d^2 Y}{dx^2} + p \frac{dY}{dx} + q Y &= R(x)
\end{align}
これを非同次方程式($\ref{定数係数非同次微分方程式}$)から引くと，
\frac{d^2}{dx^2}(y-Y) + p \frac{d}{dx}(y - Y) + q(y - Y) &= 0
\end{align}
が得られます。$z{=}y{-}Y$と置き直すと，この式は式($\ref{定数係数非同次微分方程式}$)の同次方程式になっていることが分かります。
\frac{d^2 z}{dx^2} + p \frac{dz}{dx} + qz &= 0
\end{align}
この同次方程式の解を$y_c$とおけば，
y - Y &= y_c
\end{align}
が成り立つため，式($\ref{非同次方程式の解き方}$)が得られました。
ちなみに，$y_c$は同次方程式の一般解は非同次方程式の余関数（cofunction）とも呼ばれているため，添え字に$c$が用いられています。
もしかすると，ここで「どのように$y_{c}$と$Y$を求めるのか」という疑問を抱かれる方がいるかもしれません。$y_{c}$は二階同次線形の微分方程式の解法で求めることができます。一方，$Y$に関しては完全に「当てずっぽう」で求めるしかありません。ただし，完全な当てずっぽうではなく$R(x)$の形を吟味して「この形は最低限必要だろう」というセーフティーネットを張って$Y$を決め打ちするのが定石です。
特性方程式の解を$\lambda$とおくと，$R(x)$とそれに応じた$Y$の定め方は次の通りです。ただし，$\alpha{\neq}\lambda$，$\pm\beta i{\neq}\lambda$，$\alpha\pm\beta i\neq\lambda$とします。
| $R(x)$ | $Y$ |
|---|---|
| $a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$ | $A_{m}x^{m}+A_{m-1}x^{m-1}+{\cdots}+A_{1}x+A_{0}$ |
| $e^{\alpha x}$ | $Ae^{\alpha x}$ |
| $x^{m}e^{\alpha x}$ | $(A_{m}x^{m}+A_{m-1}x^{m-1}+{\cdots}+A_{1}x+A_{0})e^{\alpha x}$ |
| $f(\cos\beta x, \cos\beta x)$ | $A\cos\beta x + B\cos\beta x$ |
| $f(e^{\alpha x}\cos\beta x, e^{\alpha x}\cos\beta x)$ | $e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\cos\beta x)$ |
$y_{c}$の形が$R(x)$とバッティングする場合には特性方程式の重複度に応じて$x$あるいは$x^{2}$を$Y$に掛ける必要があるため注意してください。
この「当てずっぽう」の部分が初学者にとってハードルとなり得ます。微分方程式は意外と勘に頼る場面が少なくありません。答えを見つけるために多少天下り的に関数形を定めていく方法がよく用いられます。
例題
以下では，$2$つのパターンの例題を通して二階非同次線形微分方程式の解法を確認します。
パターン1
次の例題を解きましょう。ただし，初期条件は与えないため定数項はそのまま残してよいです。
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= x^{2} \label{1-1}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= \sin x \label{1-2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} \label{1-3}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x}x^{2} \label{1-4}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{x} \sin x\label{1-5}
\end{align}
パターン1は，同次方程式の一般解$y_{c}$が$R(x)$とバッティングしていないケースになります。この場合は，同次方程式の一般解をそのまま利用することができます。式($\ref{1-1}$)〜式($\ref{1-5}$)の特性方程式は全て同じで，
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= 0
\end{align}
となります。$\lambda{=}-1, -4$となりますので，同次方程式の一般解$y_{c}$は以下のようになります。
y_{c} &= C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}
\end{align}
続いて，特殊解$Y$を求めます。 $R(x)$の形を吟味して「この形は最低限必要だろう」というセーフティーネットを張って$Y$を決め打ちします。
| 式 | $y_{c}$ | $R(x)$ | $Y$ |
|---|---|---|---|
| ($\ref{1-1}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $x^{2}$ | $Ax^{2} + Bx + C$ |
| ($\ref{1-2}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $\sin x$ | $A\cos x + B\sin x$ |
| ($\ref{1-3}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $e^{x}$ | $Ae^{x}$ |
| ($\ref{1-4}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $e^{2}x^{2}$ | $e^{x} \left( Ax^2 + Bx + C \right)$ |
| ($\ref{1-5}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $e^{x}\sin x$ | $e^{x} \left( A\cos x + B\sin x \right)$ |
したがって，式($\ref{非同次方程式の解き方}$)に従えば，求める解は以下のようになります。
y &= C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x} + A x^2 + B x + C \\[0.7em]
y &= C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x} + A\cos x + B\sin x \\[0.7em]
y &= C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x} + Ae^{x} \\[0.7em]
y &= C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x} + e^{x} \left( Ax^2 + Bx + C \right) \\[0.7em]
y &= C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x} + e^{x} \left( A\cos x + B\sin x \right)
\end{align}
問題文では「適切な定数項を設定しなさい」とありますが，この定数項は同次方程式の一般解$y_{c}$の定数であって，非同次方程式の特殊解$Y$の係数ではありません。ここを勘違いしてしまう人が非常に多いです。初期条件が与えられていなくても，特殊解$Y$の係数を求めることは可能です。本記事では紙面の都合上，特殊解$Y$の係数を求める作業は割愛します。その代わり，オイラーの微分方程式では非同次線形微分方程式に帰着させた後に特殊解$Y$の係数を求めています。
パターン2
以下の例題を解きましょう。ただし，初期条件は与えないため定数項はそのまま残してよいです。
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} &= x^{2} \label{2-1}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} &= x^{2} \label{2-2}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= e^{-x} \label{2-3}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y &= e^{-2x} \label{2-4}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= x^{2}e^{-x} \label{2-5}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y &= x^{2}e^{-2x} \label{2-6}\\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 4y &= e^{-x} \sin \sqrt{3}x \label{2-7}
\end{align}
パターン1と同様に，同次方程式の一般解$y_{c}$および非同次方程式の特殊解$Y$を求めてみましょう。
| 式 | $y_{c}$ | $Y$ | 重複している項 |
|---|---|---|---|
| ($\ref{2-1}$) | $C_{1}e^{-5x} + C_2$ | $Ax^{2} + Bx + C$ | $C$ |
| ($\ref{2-2}$) | $C_{1}x + C_2$ | $Ax^{2} + Bx + C$ | $Bx+C$ |
| ($\ref{2-3}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $Ae^{-x}$ | $Ae^{-x}$ |
| ($\ref{2-4}$) | $(C_{1}x + C_{2})e^{-2x}$ | $Ae^{-2x}$ | $Ae^{-2x}$ |
| ($\ref{2-5}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $e^{-x}(Ax^2 + Bx + C)$ | $Ce^{-x}$ |
| ($\ref{2-6}$) | $(C_{1}x + C_{2})e^{-2x}$ | $e^{-2x}(Ax^2 + Bx + C)$ | $e^{-2x}(Bx + C)$ |
| ($\ref{2-7}$) | $e^{-x}\left( C_1\cos \sqrt{3}x {+} C_2 \sin \sqrt{3}x \right)$ | $e^{-x}\left( A\sin \sqrt{3}x {+} B\cos \sqrt{3}x \right)$ | $e^{-x}\left( A\sin \sqrt{3}x {+} B\cos \sqrt{3}x \right)$ |
パターン2では，$y_c$と$Y$に同じ項が被ってしまっているために解を上手く求めることができないのです。そのため，特殊解の予想$Y$を同次方程式の一般解$y_c$と被らせないために，特性方程式の重複度に応じて$x^{n}$を掛ける必要があります。このテクニックについては一旦「こうすれば上手くいくから」と理解しておきましょう。天下り的に捉えてしまった方が楽です。
重複している場合には解空間の次元を十分表現できないというイメージです。
$n$の値は，$y_{c}$と$Y$の重複がなくなる$n$の中で最小のものを選ぶようにします。下の表において，$Y$に掛けるべき$x^{n}$を示しておきます。
| 式 | $y_{c}$ | 重複 | $x^{n}$ |
|---|---|---|---|
| ($\ref{2-1}$) | $C_{1}e^{-5x} + C_2$ | $C$ | $x$ |
| ($\ref{2-2}$) | $C_{1}x + C_2$ | $Bx+C$ | $x^{2}$ |
| ($\ref{2-3}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $Ae^{-x}$ | $x$ |
| ($\ref{2-4}$) | $(C_{1}x + C_{2})e^{-2x}$ | $Ae^{-2x}$ | $x^{2}$ |
| ($\ref{2-5}$) | $C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x}$ | $Ce^{-x}$ | $x$ |
| ($\ref{2-6}$) | $(C_{1}x + C_{2})e^{-2x}$ | $e^{-2x}(Bx + C)$ | $x^{2}$ |
| ($\ref{2-7}$) | $e^{-x}\left( C_1\cos \sqrt{3}x {+} C_2 \sin \sqrt{3}x \right)$ | $e^{-x}\left( A\sin \sqrt{3}x {+} B\cos \sqrt{3}x \right)$ | $x$ |
実際に重複度に応じて特殊解に$x^{n}$を掛けたものを$Y$として採用すると，非同次方程式の一般解$y$は以下のように求められます。
y &= C_{1}e^{-5x} + C_2 + x\cdot (Ax^2 + Bx + C) \\[0.7em]
y &= C_{1}x + C_2 + x^{2}\cdot (Ax^2 + Bx + C) \\[0.7em]
y &= C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x} + x\cdot Ae^{-x} \\[0.7em]
y &= (C_{1}x + C_{2})e^{-2x} + x^{2}\cdot Ae^{-2x} \\[0.7em]
y &= C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{-x} + x\cdot e^{-x}\left( Ax^2 + Bx + C \right) \\[0.7em]
y &= (C_{1}x + C_{2})e^{-2x} + x^{2}\cdot e^{-2x}\left( Ax^2 + Bx + C \right) \\[0.7em]
y &= e^{-x}\left( C_1\cos \sqrt{3}x {+} C_2 \sin \sqrt{3}x \right) + x\cdot e^{-x}\left( A\sin \sqrt{3}x + B\cos \sqrt{3}x \right)
\end{align}
先述の通り，特殊解$Y$の係数を求める作業は割愛します。
宣伝
線形微分方程式を一瞬で解くことができる「必殺奥義」を解説しています。大学の定期試験や数学検定1級の対策として非常に有効な武器となりますので，ぜひ参考にしてください。
コメント
コメント一覧 （4件）
式(42)(47)(63)はそれぞれλ=±2i, C₁sin2x+C₂sin2x, C₁sin2x+C₂sin2x+x(Asin2x+Bsin2x)が正しいと思います。
ご指摘ありがとうございます。本文を修正致しました。
この修正だと、(31)の解の(62)は特殊解と一般解がバッティングしてないので、特殊解にxをかけないです。なので(31)はパターン2じゃなくなります。
度々ご指摘ありがとうございます。本文を全面的に修正しました。