【初学者向け】ベルヌーイの微分方程式

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事では,数学検定1級で頻出の微分方程式についてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

ベルヌーイの微分方程式

左辺を一階線形微分方程式の形に整理した時に,右辺に$y^k$が残ってしまう微分方程式をベルヌーイの微分方程式と呼びます。ただし,$k$は定数で$k\neq 0, 1$とします。

\begin{align}
\frac{dy}{dx} + P(x)y &= Q(x)y^k
\end{align}

解法

以下の変数変換を行うことで,一階線形微分方程式に帰着させることができます。

\begin{align}
z &= y^{1-k}
\end{align}

この変数変換はかなり恣意的で,覚える必要はありません。式変形を行った結果,自然と出てくる変数変換です。問題を通して,実際に「自然に出てくる」という感覚を味わってみましょう。

例題

以下の例題を解きましょう。ただし,$x \neq 0$とし,初期条件は与えないため適切な定数項を設定します。

\begin{align}
x\frac{dy}{dx} + y &= y^2 \log x
\end{align}

まずは,左辺を変形して一階線形微分方程式の形にします。

\begin{align}
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y &= \frac{\log x}{x} y^2
\end{align}

しかし,右辺の$y^2$が邪魔で一階線形微分方程式に帰着させられませんね。そこで,$y^2$を消すために$y^{-2}$を両辺に掛けます。

\begin{align}
-y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y^{-1} &= -\frac{\log x}{x}
\end{align}

さて,ここで左辺を一階線形微分方程式の形のようにキレイにすることを考えます。第一項目と第二項目の$y$の指数に注目すると,その差は1であることが分かります。これは,ベルヌーイの微分方程式では必ずそうなります。なぜなら,$y^{-2}$を両辺に掛ける前に左辺は一階微分方程式の形に整理されていましたので,第一項目は$y$に関する項は出現しておらず,第二項目には$y$に関する項が出現しているからです。

$y$の指数の差が$1$であることに注目すると,べき乗の微分の性質を利用すればよいことが思いつくはずです。$x^m$を微分すると$mx^{m-1}$になりますよね。肩の数字が$1$減ります。この性質を利用すればよいのです。このとき,微分前の変数は肩の数字が大きい方に設定してあげる必要がありますので,今回は$z = y^{-1}$とおいてあげることで,左辺をキレイな形にしてあげることができるのです。ためしに,$z$の微分を考えてあげましょう。

\begin{align}
\frac{dz}{dx} &= \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} \\[0.7em]
&= \frac{d}{dy}y^{-1}~\frac{dy}{dx} \\[0.7em]
&= - y^{-2} \frac{dy}{dx}
\end{align}

これは第一項目そのものですね。つまり,$z = y^{-1}$とおくことで,以下のような式変形ができるのです。

\begin{align}
-y^{-2} y^{\prime} - \frac{1}{x}y^{-1} &= -\frac{\log x}{x} \\[0.7em]
z^{\prime} - \frac{1}{x}z &= -\frac{\log x}{x}
\end{align}

となります。これは,一階線形微分方程式に他なりません。一階線形微分方程式と同様の手続きにより,求める答えは以下のようになります。

\begin{align}
y &= \frac{1}{Cx + \log x + 1} \\[0.7em]
y &= 0
\end{align}

ベルヌーイの微分方程式では$y^{-k}$という形が出てきますから,$y=0$も解を満たすかどうかのチェックは必ず行ってください。忘れてしまう人が多いと思いますので,注意してください。

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