本稿では，代表的な微分方程式の解法をお伝えします。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
ベルヌーイの微分方程式
左辺を一階線形微分方程式の形に整理したとき右辺に$y^k$が残ってしまう微分方程式を，ベルヌーイの微分方程式と呼びます。ただし，$k$は定数で$k\neq 0, 1$とします。
\frac{dy}{dx} + P(x)y &= Q(x)y^k
\end{align}
解法
以下の変数変換を行うことで，一階線形微分方程式に帰着させることができます。
z &= y^{1-k}
\end{align}
この変数変換はかなり恣意的で，覚える必要はありません。式変形を行った結果，自然と導出される変数変換です。問題を通して実際に「自然に出てくる」という感覚を味わってみましょう。
例題
次の例題を解きましょう。ただし$x \neq 0$とし，初期条件は与えないため定数項はそのまま残してよいです。
x\frac{dy}{dx} + y &= y^2 \log x
\end{align}
まずは，左辺を変形して一階線形微分方程式の形にします。
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y &= \frac{\log x}{x} y^2
\end{align}
しかし，右辺の$y^2$が邪魔で一階線形微分方程式に帰着させられません。そこで，$y^2$を消すために$y^{-2}$を両辺に掛けます。
-y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y^{-1} &= -\frac{\log x}{x}
\end{align}
さて，ここで左辺を一階線形微分方程式の形に近づけることを考えます。第一項目と第二項目の$y$の指数に注目すると，その差は1であることが分かります。これは，ベルヌーイの微分方程式では必ずそうなります。なぜなら，$y^{-2}$を両辺に掛ける前に左辺は一階微分方程式の形に整理されていたからです。
$y$の指数の差が$1$であることに注目すると，やや天下り的ですが，べき乗の微分の性質を利用できることを思いつきます。$x^m$の微分は$mx^{m-1}$となり肩の数字が$1$減りますが，この性質を利用するのです。今回は$z = y^{-1}$とおき，$z$の微分を考えてみます。
\frac{dz}{dx}
&= \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}
= \frac{d}{dy}y^{-1}~\frac{dy}{dx}
= - y^{-2} \frac{dy}{dx}
\end{align}
これは第一項目そのものですね。$z = y^{-1}$とおくことで，次のような式変形ができます。
-y^{-2} y^{\prime} - \frac{1}{x}y^{-1} &= -\frac{\log x}{x} \\[0.7em]
z^{\prime} - \frac{1}{x}z &= -\frac{\log x}{x}
\end{align}
これは一階線形微分方程式に他なりません。一階線形微分方程式と同様の手続きにより，求める答えは以下のようになります。
y &= \frac{1}{Cx + \log x + 1},\quad
y = 0
\end{align}
ベルヌーイの微分方程式では$y^{-k}$という形が出てきますから，$y=0$も解を満たすかどうかのチェックは必ず行ってください。特に忘れてしまう人が多い注意ポイントです。
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