【初学者向け】二階同次線形の微分方程式

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事では,数学検定1級で頻出の微分方程式についてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

二階同次線形微分方程式

以下の形をした微分方程式を二階同次線形微分方程式と呼びます。

\begin{align}
\frac{d^2 y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y &= 0
\end{align}

解法

二階同次線形微分方程式は,特性方程式の解が実数か複素数かに依存して求められます。

  • 異なる$2$つの実数が解のとき:$Y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x}$
  • 重解のとき:$Y = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda_1 x}$
  • 虚数解をもつとき:$Y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

例題

以下の例題を解きましょう。ただし,初期条件は与えないため適切な定数項を設定します。

\begin{align}
y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} + 4y &= 0 \\[0.7em]
y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 4y &= 0
\end{align}

それぞれの特性方程式の解は以下のようになっています。

\begin{align}
\lambda &= -1, -4 \\[0.7em]
\lambda &= -2 \\[0.7em]
\lambda &= 1 \pm \sqrt{3}i
\end{align}

したがって,同次方程式の一般解はそれぞれ以下のようになります。

\begin{align}
y &= C_1 e^{-x} + C_2 e^{-4x} \\[0.7em]
y &= (C_1 + C_2x)e^{-2x} \\[0.7em]
y &= e^{x} (C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2\sin \sqrt{3}x)
\end{align}

初期条件が与えられていれば,定数項$C_1$,$C_2$を初期条件から求めるために上記一般解から$y^{\prime}$をそれぞれ計算するのですが,今回は定数項を残してよいとのことでしたので,ここで終了です。

シェアはこちらからお願いします!
URLをコピーする
URLをコピーしました!

コメント

コメントする

※スパム対策のためコメントは日本語で入力してください。

目次
目次
閉じる