【初学者向け】リッカチの微分方程式

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事では,数学検定1級で頻出の微分方程式についてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

リッカチの微分方程式

以下の形をしたものをリッカチの微分方程式と呼びます。

\begin{align}
y^{\prime} &= P(x) + Q(x)y + R(x)y^2
\end{align}

解法

非同次方程式の一般解を$y$,非同次方程式の特殊解を$Y$,同次方程式の一般解を$y_c$と置くと,以下が求める答えになります。

\begin{align}
y &= z + Y
\end{align}

求める解が一般解と特殊解の和になることは,二階非同次微分方程式を参考にしてください。

二階非同次微分方程式と同様に,$P(x)$の形から特殊解$Y$を想定します。そして,$y'=z+Y$を元のリッカチの微分方程式に代入すると,ベルヌーイの微分方程式に帰着します。

例題

以下の例題を解きましょう。ただし初期条件は与えないため適切な定数項を設定します。

\begin{align}
y^{\prime}&=e^x-y+e^{-x}y^2 \label{例題}
\end{align}

$P(x)=e^x$より,特殊解は$Y=ae^x$の形になると予想できます。式($\ref{例題}$)に代入します。

\begin{align}
ae^x &= (2-a)e^x
\end{align}

両辺で$e^x$の係数を比較すると,$a=1$が得られます。すなわち,特殊解は$Y=e^x$となります。

\begin{align}
y &= u + e^x
\end{align}

これを元の微分方程式($\ref{例題}$)に代入すると,ベルヌーイの微分方程式が得られます。

\begin{align}
u^{\prime}+e^x &= e^x-(u+e^x)+e^{-x}(u^2+2ue^{x}+e^{2x}) \\[0.7em]
u^{\prime}-u &= e^{-x}u^{2}
\end{align}

ベルヌーイの微分方程式で説明した解法に基づくと,$u$を以下のように求められます。

\begin{align}
u &= e^{-x}(C-x)
\end{align}

したがって,求める解は以下のようになります。

\begin{align}
y &= e^x + \frac{e^x}{C-x}
\end{align}

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