本稿では，代表的な微分方程式の解法をお伝えします。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
リッカチの微分方程式
以下の形をしたものをリッカチの微分方程式と呼びます。
\begin{align}
y^{\prime} &= P(x) + Q(x)y + R(x)y^2
\end{align}
y^{\prime} &= P(x) + Q(x)y + R(x)y^2
\end{align}
解法
非同次方程式の一般解を$y$，非同次方程式の特殊解を$Y$，同次方程式の一般解を$y_c$と置くと，
\begin{align}
y &= z + Y
\end{align}
y &= z + Y
\end{align}
が求める解となります。
求める解が一般解と特殊解の和になることは二階非同次微分方程式を参考にしてください。
二階非同次微分方程式と同様に，$P(x)$の形から特殊解$Y$を想定した上で$y^{\prime}{=}z{+}Y$を元のリッカチの微分方程式に代入すると，ベルヌーイの微分方程式に帰着します。
例題
以下の例題を解きましょう。ただし，初期条件は与えないため定数項はそのまま残してよいです。
\begin{align}
y^{\prime}&=e^x-y+e^{-x}y^2 \label{例題}
\end{align}
y^{\prime}&=e^x-y+e^{-x}y^2 \label{例題}
\end{align}
$P(x)=e^x$より特殊解は$Y=ae^x$の形になると予想できるため，式($\ref{例題}$)に代入すると
\begin{align}
ae^x &= (2-a)e^x
\end{align}
ae^x &= (2-a)e^x
\end{align}
が得られます。両辺で$e^x$の係数を比較すると$a=1$が得られ，特殊解は$Y=e^x$となります。
\begin{align}
y &= u + e^x
\end{align}
y &= u + e^x
\end{align}
これを元の微分方程式($\ref{例題}$)に代入すると，ベルヌーイの微分方程式が得られます。
\begin{align}
u^{\prime}+e^x &= e^x-(u+e^x)+e^{-x}(u^2+2ue^{x}+e^{2x}) \\[0.7em]
u^{\prime}-u &= e^{-x}u^{2}
\end{align}
u^{\prime}+e^x &= e^x-(u+e^x)+e^{-x}(u^2+2ue^{x}+e^{2x}) \\[0.7em]
u^{\prime}-u &= e^{-x}u^{2}
\end{align}
ベルヌーイの微分方程式で説明した解法に基づくと，
\begin{align}
u &= e^{-x}(C-x)
\end{align}
u &= e^{-x}(C-x)
\end{align}
が得られます。したがって，求める解は
\begin{align}
y &= e^x + \frac{e^x}{C-x}
\end{align}
y &= e^x + \frac{e^x}{C-x}
\end{align}
となります。
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