本稿では，代表的な微分方程式の解法をお伝えします。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
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線形微分方程式を一瞬で解くことができる「必殺奥義」を解説しています。大学の定期試験や数学検定1級の対策として非常に有効な武器となりますので，ぜひ参考にしてください。
有理関数型の微分方程式
次の形をした微分方程式は，変数変換により変数分離系か同次系に帰着させることができる。
\frac{dy}{dx} &= f\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)
\end{align}
解法
- $ax+by=k(px+qy)$の場合：$u=px+qy$とおけば同次系に帰着
- $ax+by\neq k(px+qy)$の場合：$u=x-\alpha$，$v=y-\beta$とおけば変数分離系に帰着
ただし，$\alpha,\beta$は$ax+by+c=0,px+qy+r=0$の解です。
証明
$ax+by=k(px+qy)$，すなわち$aq-bp=0$のとき，
\frac{dy}{dx}
&= f\left(\frac{k(px+qy)+c}{px+qy+r}\right)
= f\left(\frac{ku+c}{u+r}\right)
\end{align}
となります。$u=px+qy$とおくと，
\frac{du}{dx}
&= p+q\frac{dy}{dx}
= p + qf\left(\frac{ku+c}{u+r}\right)
= qf\left(\frac{k^{\prime}u+c^{\prime}}{u+r}\right)
\end{align}
となるため，変数分離系に帰着しました。
$p$を$\displaystyle \frac{ku+c}{u+r}$の分数に入れてしまうイメージです。
$ax+by\neq k(px+qy)$，すなわち$aq-bp\neq 0$のとき，
\begin{cases}
ax+by+c=0\\[0.7em]
px+qy+r=0
\end{cases}
\end{align}
の解を$\alpha,\beta$とおき，$u=x-\alpha$，$v=y-\beta$とおけば，
\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}(v+\beta) = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{dv}{du}
\end{align}
となるため，
\frac{dv}{du} &= f\left(\frac{a(u+\alpha)+b(v+\beta)+c}{p(u+\alpha)+q(v+\beta)+r}\right)
= f\left(\frac{au+bv+c+a\alpha+b\beta}{pu+qv+r+p\alpha+q\beta}\right)\\[0.7em]
&= f\left(\frac{au+bv+c+(-c)}{pu+qv+r+(-r)}\right)
= f\left(\frac{au+bv}{pu+qv}\right)
\end{align}
となり，同次系に帰着しました。
この解法は，本質的には右辺の有理関数を平行移動しています。分子の関数と分母の関数の交点を原点に持っていけば右辺が同次系になるという仕組みです。ただし，分子の関数と分母の関数が交点を持たない場合は交点を平行移動することができませんので，例外的に変数分離系に帰着します。
例題1
\frac{dy}{dx} &= \frac{6x-2y-7}{3x-y+4}
\end{align}
$aq-bp=0$より，$u=3x-y$とおけば，
\frac{du}{dx}
&= 3-\frac{dy}{dx}
= 3-\frac{2u-7}{u+4}
= \frac{u+19}{u+4}
\end{align}
となるため，
\frac{u+4}{u+19}du &= dx
\end{align}
という変数分離系に帰着しました。両辺を積分すると，
\int\frac{u+4}{u+19}du = \int dx = x+C_{1}
\end{align}
となり，左辺は
\int\left(1-\frac{15}{u+19}\right)du
&= u-15\log|u+19|+C_{2}
\end{align}
となるため，求める答えは
2x-y-15\log|3x-y+19| &= C
\end{align}
となります。ただし，$C=C_{1}-C_{2}$とおきました。
例題2
\frac{dy}{dx} &= \frac{2x-y+1}{x-2y+1}
\end{align}
$aq-bp=0$より，
\begin{cases}
2x-y+1 = 0\\[0.7em]
x-2y+1 = 0
\end{cases}
\end{align}
の解$(-1/3,1/3)$を用いて
u = x+\frac{1}{3},\quad v = y-\frac{1}{3}
\end{align}
とおけば，
\frac{dv}{du} &= \frac{2u-v}{u-2v}
\end{align}
となります。$u\neq 0$のとき，
\frac{dv}{du} &= \frac{2-v/u}{1-2v/u}
\end{align}
となり，$t=v/u$とおけば
\frac{dv}{du} &= t+u\frac{dt}{du} = \frac{2-t}{1-2t}
\end{align}
が得られるため，これを変形すると
\log(t^{2}-t+1)+\log u^{2} &= C_{1}
\end{align}
となります。ただし，$t^{2}-t+1=(t-1/2)^{2}+3/4>0$より対数の中身は絶対値を付けませんでした。定数を新たに$C_{2}$とおいて対数を外すと，
u^{2}(t^{2}-t+1) &= C_{2}
\end{align}
となるため，$u,t$の定義を代入すれば
&\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}\left\{\left(\frac{y-1/3}{x+1/3}\right)^{2}-\left(\frac{y-1/3}{x+1/3}\right)+1\right\}\\[0.7em]
&= \left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}-\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}
=C_{2}
\end{align}
が得られます。定数を新たに$C$とおけば，求める答えは
x^{2}-xy+y^{2}+x-y &= C
\end{align}
となり，これには$u=0$，すなわち$x=-1/3$の解も含まれています。
$x=-1/3$の解が含まれているというのは，$x=-1/3$を代入してもそれに対応する$y$が求められるという意味です。曲線上で$x=-1/3$の$y$座標の値を求めていることに他なりません。
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