【初学者向け】変数分離形の微分方程式

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事では,数学検定1級で頻出の微分方程式についてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

変数分離形の微分方程式

最も基本的な微分方程式の形が変数分離形で,主に2つのバリエーションがあります。

\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= P(x)Q(y) \\[0.7em]
\frac{dy}{dx} &= f(ax + by + c)
\end{align}

解法

パターン1は,$y$の一階微分が$x$の関数と$y$の関数の積で表される微分方程式です。パターン2は,$y$の一階微分が$ax+by+c$の関数で表される微分方程式です。パターン2では,

\begin{align}
u &= ax+by+c
\end{align}

と置くことで,パターン1に帰着します。

例題

以下では,二つのパターンの例題を通して変数分離形微分方程式の解法を確認します。

パターン1

以下の例題を解きましょう。ただし,初期条件は与えないため適切な定数項を設定します。

\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{y}{x(y+1)}
\end{align}

パターン1は,$y$の関数を左辺に移項させて,両辺を$x$で積分することで解くことができます。$y \neq 0$のとき,$y$の関数を左辺に移項させると,

\begin{align}
\frac{y+1}{y}\frac{dy}{dx} &= \frac{1}{x}
\end{align}

となります。両辺を$x$で積分します。

\begin{align}
\int \left( 1 + \frac{1}{y} \right) \frac{dy}{dx} dx &= \int \frac{1}{x} dx \\[0.7em]
y + \log |y| &= \log |x| + C_1 \\[0.7em]
\log |ye^{y}| &= \log |e^{C_1}x| \\[0.7em]
ye^y &= Cx
\end{align}

ただし,$e^{C_1}=C$と置きました。また,$y=0$も解となりますが,これは$C=0$のときに相当します。したがって,求める解は以下です。

\begin{align}
ye^y &= Cx
\end{align}

変数分離形の記述問題では$1/x$の積分を考えるときに絶対値を忘れないようにしましょう。$\log$の中身は必ず正でなくてはなりません。

パターン2

以下の例題を解きましょう。ただし,初期条件は与えないため適切な定数項を設定します。

\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= (x + y)^2 \label{パターン2}
\end{align}

パターン2は定石通り,

\begin{align}
u &= x+y \label{変数変換}
\end{align}

と置いてパターン1に帰着させましょう。式($\ref{変数変換}$)の両辺を$x$で微分すると,

\begin{align}
\frac{du}{dx} &= 1+\frac{dy}{dx} \\[0.7em]
\frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx}-1
\end{align}

となります。元の微分方程式($\ref{パターン2}$)に代入します。

\begin{align}
\frac{du}{dx} - 1 &= u^2 \\[0.7em]
\frac{du}{dx} &= 1+u^2
\end{align}

これはパターン1の形をしています。したがって,$u$の関数を左辺に移項します。

\begin{align}
\frac{1}{1 + u^2}\frac{du}{dx} &= 1
\end{align}

両辺を$u$で積分します。

\begin{align}
\int \frac{1}{1 + u^2} du &= \int 1 dx \\[0.7em]
\arctan u &= x + C
\end{align}

したがって,$\tan u$の逆関数を利用すると,求める解は以下になります。

\begin{align}
u &= \tan (x + C) \\[0.7em]
y &= \tan(x + C) - x
\end{align}

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