【初学者向け】一階非同次線形の微分方程式

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事では,数学検定1級で頻出の微分方程式についてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

一階線形微分方程式

以下の形の微分方程式を一階非同次形微分方程式,または単に一階線形微分方程式と呼びます。

\begin{align}
\frac{dy}{dx} + P(x)y &= Q(x) \label{主題}
\end{align}

解法

一階線形微分方程式は,二階線形微分方程式と同様に定数変化法でアプローチすることが可能です。しかし,多くの参考書では異なるアプローチをとり,本記事でもそれに従います。理由としては,数検1級の範囲では「定数係数」の二階線形微分方程式が出題されることがほとんどだからです。「変数係数」が出題されたとしてもオイラーの微分方程式の形をしているでしょう。したがって,定数変化法を用いてロンスキー行列を持ち出す必要は基本的にはありません。

一方で,一階線形微分方程式では,定数係数のケースはもちろん,変数係数の一般の場合も出題されます。さらに,二階線形微分方程式の右辺は「多項式」「指数関数」「三角関数」の組み合わせで構成されることがほとんどですが,一階線形微分方程式の右辺はそれ以外の関数も出てきます。そうなると,定数変化法を持ち出す必要があります。しかし,残念なことに,定数変化法を用いた一階線形微分方程式の対策は,数検1級の文脈においてはオーバーキルです。すなわち,二階微分方程式の一般的な解法である定数変化法を一階微分方程式に当てはめるという対策は,数検1級においては推奨されないと考えています。

そこで,一階微分方程式特有の解法を身につける必要があります。これはそこまで難しくありません。無理矢理「積の微分」の形を作ってあげればよいのです。具体的に見ていきましょう。一階微分方程式は以下のような形をしていました。

\begin{align}
\frac{dy}{dx} + P(x)y &= Q(x)
\end{align}

左辺を積の微分の形に近づけることが目標です。まず,左辺にある2つの項の両方に$y$が出現していることに注目します。第一項目は$y$を微分していて,第二項目は$y$がそのまま出現しています。これは,以下の積の微分

\begin{align}
(xy)^{\prime} &= x^{\prime}y + xy^{\prime}
\end{align}

の形にすでに似ていることが分かります。あとは,微分して$P(x)$が出てくるような関数をくっつけてあげれば積の微分の形になります。微分して$P(x)$が出てくるような関数には何があるでしょうか。ここでは,微分方程式で大活躍する指数関数を利用します。すなわち,$\exp{\int P(x) dx}$を考えてあえれば,$x$で微分したときに肩の$P(x)$が前に出てきてくれます。

\begin{align}
\frac{dy}{dx}\cdot e^{\int P(x) dx} + P(x)y\cdot e^{\int P(x) dx} &= Q(x)\cdot e^{\int P(x) dx}
\end{align}

左辺は積の微分の形に持っていくことができそうです。

\begin{align}
\frac{dy}{dx}\cdot e^{\int P(x) dx} + y\cdot P(x)e^{\int P(x) dx} &= Q(x)\cdot e^{\int P(x) dx} \\[0.7em]
\frac{dy}{dx}\cdot e^{\int P(x) dx} + y\cdot \left( e^{\int P(x) dx}\right)^{\prime} &= Q(x)\cdot e^{\int P(x) dx} \\[0.7em]
\left( ye^{\int P(x) dx} \right)^{\prime} &= Q(x) e^{\int P(x) dx}
\end{align}

両辺を$x$で積分します。

\begin{align}
\int \left( ye^{\int P(x) dx} \right)^{\prime} dx &= \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx \\[0.7em]
ye^{\int P(x) dx} &= \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C
\end{align}

したがって,一階線形微分方程式は以下のように一般解を求めることができます。

\begin{align}
y &= e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right)
\end{align}

この式を覚える必要はありません。一階線形微分方程式では,左辺を積の形に持っていくために指数関数を利用するんだということを理解してください。

例題

以下の例題を解きましょう。以下の例題を解きましょう。ただし,$a > 0$とし,初期条件は与えないため適切な定数項を設定します。

\begin{align}
(x^2 + a^2)y^{\prime} + xy &= 1
\end{align}

まずは,式($\ref{主題}$)の形に変形します。

\begin{align}
y^{\prime} + \frac{x}{x^2 + a^2}y &= \frac{1}{x^2 + a^2}
\end{align}

左辺を積の微分の形に近づけるため,指数関数を利用します。

\begin{align}
e^{\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx}y^{\prime} + e^{\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx}\frac{x}{x^2 + a^2}y
&= e^{\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx} \frac{1}{x^2 + a^2} \\[0.7em]
\left(e^{\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx}y \right)^{\prime} &= e^{\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx} \frac{1}{x^2 + a^2} \\[0.7em]
e^{\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx}y &= \int e^{\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx} \frac{1}{x^2 + a^2} dx \label{積の微分後}\\[0.7em]
\end{align}

ここで,

\begin{align}
e^{\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx} &= e^{\frac{1}{2}\log (x^2 + a^2)} \\[0.7em]
&= \sqrt{x^2 + a^2}
\end{align}

と変形できます。この結果を式($\ref{積の微分後}$)に代入すると,

\begin{align}
\sqrt{x^2 + a^2}y &= \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx
\end{align}

さて,以下の頻出の積分公式を思い出しましょう。

\begin{align}
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx &= \log \left|x + \sqrt{x^2 + a}\right| + C \\[0.7em]
\end{align}

$x + \sqrt{x^2 + a^2} > 0$に注意してこれを適用すると,

\begin{align}
\sqrt{x^2 + a^2}y &= \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C \\[0.7em]
&= \log \left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C\\[0.7em]
\end{align}

したがって,求める答えは以下になります。

\begin{align}
y &= \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\left\{ \log (x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C \right\}
\end{align}

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