本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
行列の符号とコレスキー分解
併せて行列の符号と同値な定義も確認してください。
証明
まず，「$A$が正定値ならば$A$はコレスキー分解可能」から示します。行列の符号はエルミート行列に対して定義されますので，$A^{\ast}=A$が成り立ちます。ただし，$A^{\ast}$は$A$の随伴行列を表します。また，$A$が正定値ならば，$A$のすべての首座小行列式は正になります。すると，$LU$分解の存在条件より，$L$を上三角行列，$U$を下三角行列として$A$には$LU$分解が存在しますので，以下が成り立ちます。
LU &= A = A^{\ast} = U^{\ast}L^{\ast}
\end{align}
$U^{\ast}$が上三角行列，$L^{\ast}$が下三角行列であることに注意すると，$LU$分解の一意性から
U = L^{\ast}
\end{align}
が成り立つことが分かります。したがって，$A=LL^{\ast}$となる$L$が存在することが示されました。次に，「$A$がコレスキー分解可能ならば$A$は正定値」を示します。$A$がコレスキー分解可能なとき，
A &= LL^{\ast}
\end{align}
を満たす上三角行列$L$が存在します。このとき，行列の符号はエルミート形式に対して定義されることに注意すると，
\vx^{\ast}(LL^{\ast})\vx &= (L^{\ast}\vx)^{\ast}(L^{\ast}\vx) = \left\|L^{\ast}\vx\right\|^{2}\geq 0
\end{align}
が分かります。半正定値行列の固有値はすべて非負となることから，$A$の固有値はすべて非負となります。ここで，$A$の固有値が$0$とならないことを示すため，$A$の行列式を考えます。
\det(A) &= \det(LL^{\ast}) = \det(L)\det(L^{\ast}) = \det(L)^{2}
\end{align}
$LU$分解の求め方より，$L$は正則な行列である基本行列の積で表され，正則行列の積は正則であることから，$L$は正則になります。正則行列の行列式は0ではないことを利用すると，
\det(A) &= \det(L)^{2} \neq 0
\end{align}
が得られます。行列式はすべての固有値の積と等しいことから，$A$の固有値には$0$が含まれていないことが分かりました。$A$の固有値はすべて非負でしたので，$A$の固有値はすべて正となります。以上より，固有値と行列の符号の関係に注意すると，$A$は正定値になります。
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