【徹底解説】行列式の性質

$n$次正方行列$A$の行列式$\det (A)$は以下の性質をもつ。

1. $A$が正則ならば$\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$ [証明]
2. 第$i$列と第$j$列を入れ替えた行列$A^{\prime}$に対し$\det (A^{\prime})=-\det (A)$ [証明]
3. 第$i$列に第$j$列の$c$倍を加えた行列$A^{\prime}$に対し$\det (A^{\prime})=\det (A)$ [証明]
4. 第$i$列と第$j$列が等しければ$\det (A)=0$ [証明]
5. $n$個の列ベクトルが一次従属ならば$\det (A)=0$ [証明]
6. $\det (A)=0$ならば$n$個の列ベクトルが一次従属 [証明]
7. $n$次正方行列$B$に対し$\det (AB)=\det (A)\det (B)$ [証明]
8. $\det (A)\neq 0$ならば$A$は正則 [証明]
9. $A$が正則ならば$\det (A)\neq 0$ [証明]
10. $\det(A)$は$A$のすべての固有値の積と等しい [証明]
11. $\det(\oA)=\overline{\det(A)}$ [証明]

加えて，$\det(A)$は以下を満たす。

11. $A$の転置$A^{T}$に対し$\det(A)=\det(A^{T})$ [証明]

したがって，列に関する$\det (A)$の性質は行に対しても成り立つ。