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目次
ベータ関数の定義
パラメータ$a>0,b>0$に対し，$0<x<1$で定義される
\begin{align}
B(a, b) &= \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1}
\end{align}
B(a, b) &= \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1}
\end{align}
をベータ関数と呼ぶ。
性質
ベータ関数は数理統計学の分野において，非常に重要な役割を果たします。具体的には，以下で説明する性質をおさえておくようにしましょう。
代表的な値
ベータ関数$B(a,b)$に対し，
\begin{align}
B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) &= \pi
\end{align}
B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) &= \pi
\end{align}
が成り立つ。
ガンマ関数との関係
ベータ関数は，ガンマ関数を用いて以下のように表される。
\begin{align}
B(a,b) &= \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
\end{align}
B(a,b) &= \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
\end{align}
ベータ分布との関係
ベータ分布とベータ関数の関係は以下で表される。
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-\lambda x} dx &= \frac{\Gamma(n)}{\lambda^{n}}
\end{align}
\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-\lambda x} dx &= \frac{\Gamma(n)}{\lambda^{n}}
\end{align}
これはベータ分布の定義より明らかですので，証明は割愛します。
対称性
ベータ関数は次のような対称性を持つ。
\begin{align}
B(a,b) &= B(b,a)
\end{align}
B(a,b) &= B(b,a)
\end{align}
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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