【徹底解説】ガンマ関数とベータ関数

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ガンマ関数とベータ関数

ベータ関数は,ガンマ関数を用いて以下のように表される。

\begin{align}
B(a,b) &= \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \label{主題}
\end{align}

証明

ガンマ関数は積分ですので,積分の積と相性が良い極座標変換を利用します。ベータ関数に$1-\mu$という形が表が表れていることに注意すると,ベータ分布を極座標で表すために,

\begin{align}
\mu &= \sin^2\theta \label{mu}
\end{align}

という変数変換が利用できます。三角関数の二乗で$\mu$を定義すると$\sin^2 + \cos^2 = 1$を用いることができます。このとき,

\begin{align}
d\mu &= 2\sin\theta\cos\theta d\theta
\end{align}

となります。$\mu$の定義域は$[0,1]$ですので,$\theta$の定義域は$[0, \pi/2]$になります。

\begin{align}
B(a,b) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2a}\theta\cos^{2b}\theta\cdot 2\sin\theta \cos\theta d\theta\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2a+1}\theta\cos^{2b+1}\theta d\theta \label{正弦波導入後のベータ関数}
\end{align}

ここで,極座標変換を用いて式(\ref{正弦波導入後のベータ関数})に近づけるために,$t=x^2$の変数変換を行います。

\begin{align}
\Gamma(a) &= \int_{0}^{\infty} x^{2a-2}e^{-x^2}2xdx\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} x^{2a-1}e^{-x^2}dx
\end{align}

同様に,$\Gamma(b)$に対して$t=y^2$の変数変換を行います。

\begin{align}
\Gamma(b) &= \int_{0}^{\infty} y^{2b-2}e^{-y^2}2ydy\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} y^{2b-1}e^{-y^2}dy
\end{align}

ここで,二つのガンマ分布の積を計算してみます。

\begin{align}
\Gamma(a)\Gamma(b) &=
\left(2\int_{0}^{\infty} x^{2a-1}e^{-x^2}dx\right) \cdot
\left(2\int_{0}^{\infty} y^{2b-1}e^{-y^2}dy\right) \\[0.7em]
&= 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}
x^{2a-1}y^{2b-1}e^{-(x^2+y^2)} \label{極座標変換前のガンマ分布の積}
dxdy
\end{align}

思惑通り,$x^2+y^2$という項が出現しましたので,満を持して極座標変換を行います。いま,

\begin{align}
x &= r\cos\theta \\[0.7em]
y &= r\sin\theta
\end{align}

と置きます。ただし,$r>0$とします。このとき,ヤコビアン$J$は以下のように計算されます。

\begin{align}
J &=
\abs \begin{vmatrix}
\partial x / \partial r & \partial x / \partial \theta \\
\partial y / \partial r & \partial y / \partial \theta \\
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\abs \begin{vmatrix}
\cos \theta & -r\sin\theta \\
\sin \theta & r\cos \theta \\
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&= \abs \left(r \cos^2\theta + r \sin^2\theta\right) \\[0.7em]
&= r
\end{align}

ただし,$|\cdot|$は行列式,$\abs$は絶対値を表します。したがって,式(\ref{極座標変換前のガンマ分布の積})は以下のように変換されます。

\begin{align}
\Gamma(a)\Gamma(b)
&= 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}
r^{2a-1}\cos^{2a-1}\theta \; r^{2b-1}\sin^{2b-1}\theta
~e^{-r^2}r~drd\theta \\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} r^{2(a+b)-1} e^{-r^2}dr \cdot
2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2a-1}\theta \cos^{2b-1}\theta d\theta\\[0.7em]
&= \Gamma(a+b)B(a, b)
\end{align}

したがって,式($\ref{主題}$)が示されました。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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