zukaこんにちは。
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目次
ガンマ関数とベータ関数
ベータ関数は，ガンマ関数を用いて以下のように表される。
\begin{align}
B(a,b) &= \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \label{主題}
\end{align}
B(a,b) &= \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \label{主題}
\end{align}
証明
ガンマ関数は積分ですので，積分の積と相性が良い極座標変換を利用します。ベータ関数に$1-\mu$という形が表が表れていることに注意すると，ベータ分布を極座標で表すために，
\begin{align}
\mu &= \sin^2\theta \label{mu}
\end{align}
\mu &= \sin^2\theta \label{mu}
\end{align}
という変数変換が利用できます。三角関数の二乗で$\mu$を定義すると$\sin^2 + \cos^2 = 1$を用いることができます。このとき，
\begin{align}
d\mu &= 2\sin\theta\cos\theta d\theta
\end{align}
d\mu &= 2\sin\theta\cos\theta d\theta
\end{align}
となります。$\mu$の定義域は$[0,1]$ですので，$\theta$の定義域は$[0, \pi/2]$になります。
\begin{align}
B(a,b) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2a}\theta\cos^{2b}\theta\cdot 2\sin\theta \cos\theta d\theta\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2a+1}\theta\cos^{2b+1}\theta d\theta \label{正弦波導入後のベータ関数}
\end{align}
B(a,b) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2a}\theta\cos^{2b}\theta\cdot 2\sin\theta \cos\theta d\theta\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2a+1}\theta\cos^{2b+1}\theta d\theta \label{正弦波導入後のベータ関数}
\end{align}
ここで，極座標変換を用いて式(\ref{正弦波導入後のベータ関数})に近づけるために，$t=x^2$の変数変換を行います。
\begin{align}
\Gamma(a) &= \int_{0}^{\infty} x^{2a-2}e^{-x^2}2xdx\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} x^{2a-1}e^{-x^2}dx
\end{align}
\Gamma(a) &= \int_{0}^{\infty} x^{2a-2}e^{-x^2}2xdx\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} x^{2a-1}e^{-x^2}dx
\end{align}
同様に，$\Gamma(b)$に対して$t=y^2$の変数変換を行います。
\begin{align}
\Gamma(b) &= \int_{0}^{\infty} y^{2b-2}e^{-y^2}2ydy\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} y^{2b-1}e^{-y^2}dy
\end{align}
\Gamma(b) &= \int_{0}^{\infty} y^{2b-2}e^{-y^2}2ydy\\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} y^{2b-1}e^{-y^2}dy
\end{align}
ここで，二つのガンマ分布の積を計算してみます。
\begin{align}
\Gamma(a)\Gamma(b) &=
\left(2\int_{0}^{\infty} x^{2a-1}e^{-x^2}dx\right) \cdot
\left(2\int_{0}^{\infty} y^{2b-1}e^{-y^2}dy\right) \\[0.7em]
&= 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}
x^{2a-1}y^{2b-1}e^{-(x^2+y^2)} \label{極座標変換前のガンマ分布の積}
dxdy
\end{align}
\Gamma(a)\Gamma(b) &=
\left(2\int_{0}^{\infty} x^{2a-1}e^{-x^2}dx\right) \cdot
\left(2\int_{0}^{\infty} y^{2b-1}e^{-y^2}dy\right) \\[0.7em]
&= 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}
x^{2a-1}y^{2b-1}e^{-(x^2+y^2)} \label{極座標変換前のガンマ分布の積}
dxdy
\end{align}
思惑通り，$x^2+y^2$という項が出現しましたので，満を持して極座標変換を行います。いま，
\begin{align}
x &= r\cos\theta \\[0.7em]
y &= r\sin\theta
\end{align}
x &= r\cos\theta \\[0.7em]
y &= r\sin\theta
\end{align}
と置きます。ただし，$r>0$とします。このとき，ヤコビアン$J$は以下のように計算されます。
\begin{align}
J &=
\abs \begin{vmatrix}
\partial x / \partial r & \partial x / \partial \theta \\
\partial y / \partial r & \partial y / \partial \theta \\
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\abs \begin{vmatrix}
\cos \theta & -r\sin\theta \\
\sin \theta & r\cos \theta \\
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&= \abs \left(r \cos^2\theta + r \sin^2\theta\right) \\[0.7em]
&= r
\end{align}
J &=
\abs \begin{vmatrix}
\partial x / \partial r & \partial x / \partial \theta \\
\partial y / \partial r & \partial y / \partial \theta \\
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\abs \begin{vmatrix}
\cos \theta & -r\sin\theta \\
\sin \theta & r\cos \theta \\
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&= \abs \left(r \cos^2\theta + r \sin^2\theta\right) \\[0.7em]
&= r
\end{align}
ただし，$|\cdot|$は行列式，$\abs$は絶対値を表します。したがって，式(\ref{極座標変換前のガンマ分布の積})は以下のように変換されます。
\begin{align}
\Gamma(a)\Gamma(b)
&= 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}
r^{2a-1}\cos^{2a-1}\theta \; r^{2b-1}\sin^{2b-1}\theta
~e^{-r^2}r~drd\theta \\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} r^{2(a+b)-1} e^{-r^2}dr \cdot
2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2a-1}\theta \cos^{2b-1}\theta d\theta\\[0.7em]
&= \Gamma(a+b)B(a, b)
\end{align}
\Gamma(a)\Gamma(b)
&= 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}
r^{2a-1}\cos^{2a-1}\theta \; r^{2b-1}\sin^{2b-1}\theta
~e^{-r^2}r~drd\theta \\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} r^{2(a+b)-1} e^{-r^2}dr \cdot
2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2a-1}\theta \cos^{2b-1}\theta d\theta\\[0.7em]
&= \Gamma(a+b)B(a, b)
\end{align}
したがって，式($\ref{主題}$)が示されました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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