【徹底解説】ベータ関数の対称性

2024年3月27日

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ベータ関数の対称性

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

\begin{aligned} (1) & B (a, b) & = B (b, a) \end{aligned}

ベータ関数 $B (a, b)$ で $y = 1 - x$ の置換積分を行うことにより，

\begin{aligned} (2) & B (a, b) & = \int_{0}^{1} x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} d x = \int_{1}^{0} (1 - y)^{a - 1} y^{b - 1} (- d y) \\ (3) & = \int_{0}^{1} y^{b - 1} (1 - y)^{a - 1} d y = B (b, a) \end{aligned}

が得られます。

本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。

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