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目次
多変量正規分布の標準化
多変量正規分布$\N(\vmu, \Sigma)$に従う$\mX$に対し，以下で定義される確率変数
\begin{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}(\mX-\vmu)\label{線形変換}
\end{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}(\mX-\vmu)\label{線形変換}
\end{align}
は$\N(\vzero_n, I_n)$に従う。ただし，$\vzero_n$は$n$次元ゼロベクトル，$I_n$は$n$次元単位行列を表す。
$1$次元の場合と本質的には同じ操作を行っています。
証明
式($\ref{線形変換}$)を変形すると，
\begin{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}\mX - \Sigma^{-1/2}\vmu
\end{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}\mX - \Sigma^{-1/2}\vmu
\end{align}
となります。多変量正規分布の線形変換の定理において，
\begin{align}
A = \Sigma^{-1/2},\quad \vb = -\Sigma^{-1/2}\vmu
\end{align}
A = \Sigma^{-1/2},\quad \vb = -\Sigma^{-1/2}\vmu
\end{align}
を代入すると，$\mZ$もまた多変量正規分布に従い，その平均ベクトルは，
\begin{align}
A\vmu + \vb &= \Sigma^{-1/2}\vmu - \Sigma^{-1/2}\vmu = \vzero
\end{align}
A\vmu + \vb &= \Sigma^{-1/2}\vmu - \Sigma^{-1/2}\vmu = \vzero
\end{align}
となり，分散共分散行列は
\begin{align}
A\Sigma A^{T} &= \Sigma^{-1/2}\Sigma \left(\Sigma^{-1/2}\right)^{T}
= \Sigma^{1/2}\left(\Sigma^{T}\right)^{-1/2}
= \Sigma^{1/2}\Sigma^{-1/2}
= I_{n}
\end{align}
A\Sigma A^{T} &= \Sigma^{-1/2}\Sigma \left(\Sigma^{-1/2}\right)^{T}
= \Sigma^{1/2}\left(\Sigma^{T}\right)^{-1/2}
= \Sigma^{1/2}\Sigma^{-1/2}
= I_{n}
\end{align}
となります。ただし，$I_{n}$は$n$次元単位行列を表し，正則行列において逆行列の転置と転置の逆行列が等しくなること，および$\Sigma$が対称行列であることを利用しました。したがって，
\begin{align}
\mZ &\sim \N(\vzero_n, I_n)
\end{align}
\mZ &\sim \N(\vzero_n, I_n)
\end{align}
が得られます。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
コメント
コメント一覧 （4件）
(2)におけるZの分散は線形変換の定理に従えば，Σ^(-1/2)Σ(Σ^(-1/2))^Tだと思いますが，なぜそのような結果になるのか教えていただきたいです．
aos様
本文で詳しめに記述しました。ご確認お願い致します。
$\Sigma^{-1/2}$の定義を教えてもらえますか。
nada様
ご質問ありがとうございます。分散共分散行列の$-1/2$乗です。行列$\Sigma$の$1/2$乗は
\begin{align}
A^{2} = \Sigma
\end{align}
を表す行列$A$として定義されます。