【徹底解説】多変量正規分布の標準化

zuka

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多変量正規分布の標準化

以下で定義される確率変数

\begin{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}(\mX-\vmu)
\end{align}

は$\N(\vzero_n, I_n)$に従う。ただし,$\vzero_n$は$n$次元ゼロベクトル,$I_n$は$n$次元単位行列を表す。

$1$次元の場合と本質的には同じ操作を行っています。

証明

多変量正規分布の線形変換の定理を利用すると,

\begin{align}
\mZ &\sim \N(\Sigma^{-1/2} \vmu-\Sigma^{-1/2} \vmu, \Sigma^{-1/2}\Sigma \Sigma^{-1/2}) \\[0.7em]
&= \N(\vzero_n, I_n)
\end{align}

となります。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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