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目次
多変量正規分布の標準化
以下で定義される確率変数
\begin{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}(\mX-\vmu)
\end{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}(\mX-\vmu)
\end{align}
は$\N(\vzero_n, I_n)$に従う。ただし，$\vzero_n$は$n$次元ゼロベクトル，$I_n$は$n$次元単位行列を表す。
$1$次元の場合と本質的には同じ操作を行っています。
証明
多変量正規分布の線形変換の定理を利用すると，
\begin{align}
\mZ &\sim \N(\Sigma^{-1/2} \vmu-\Sigma^{-1/2} \vmu, \Sigma^{-1/2}\Sigma \Sigma^{-1/2}) \\[0.7em]
&= \N(\vzero_n, I_n)
\end{align}
\mZ &\sim \N(\Sigma^{-1/2} \vmu-\Sigma^{-1/2} \vmu, \Sigma^{-1/2}\Sigma \Sigma^{-1/2}) \\[0.7em]
&= \N(\vzero_n, I_n)
\end{align}
となります。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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