【徹底解説】ガウスによるガンマ関数の無限乗積表示

zuka

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目次

ガウスのガンマ関数無限乗積表示

ガンマ関数は,以下のように無限乗積を用いて表すことができる。

\begin{align}
\Gamma(x) &= \lim_{n\rightarrow \infty} n! n^{x} \prod_{m=0}^{n}\frac{1}{x+m} \label{主題}
\end{align}

ただし,$x\neq0,-1,-2\ldots$である。

ガンマ関数の定義域は$x$が実数のときは$x>0$でしたが,ガウスの無限乗積表示を用いると$x\neq0,-1\ldots$に拡張することができます。定義域は複素数領域へ拡張することも可能です。

証明

積分を級数表示するために,ガンマ関数の積分表示ベータ関数で表すことを考えます。ガンマ関数とベータ関数の関係は極座標変換を用いて証明しましたが,今回はネイピア数の定義より無限級数に置き換えることによりベータ関数を出現させることを考えます。ガンマ関数の定義は

\begin{align}
\Gamma(x) &= \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t} dt
\end{align}

ですので,被積分関数をベータ関数の被積分関数の形である$t(1-t)$を出現させるために,ネイピア数側を少し変形してあげましょう。ネイピア数の定義より,

\begin{align}
e^{-t} &= \lim_{n\rightarrow \infty} \left\{ \left( 1-\frac{t}{n} \right)^{-\frac{n}{t}} \right\}^{-t} \\[0.7em]
&= \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1-\frac{t}{n} \right)^n
\end{align}

となりますので,ガンマ関数は以下のように表されます。

\begin{align}
\Gamma(x) &= \int_{0}^{\infty} t^{x-1}\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1-\frac{t}{n} \right)^n dt \\[0.7em]
&= \int_{0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} f_{n} (t) dt\label{ガンマ関数変形後}
\end{align}

ただし,

\begin{align}
f_{n}(t) &= t^{x-1}\left( 1-\frac{t}{n} \right)^n
\end{align}

と置きました。少しずつベータ関数の形に近づいてきました。ここで,$f_{n}(t)$は連続かつ$[0, \infty]$で可積分であり,$n \rightarrow \infty$のときに$f_{n}(t)$が可積分な関数$t^{x-1}e^{-t}$に上から抑えられながら収束することを踏まえると,ルベーグの収束定理より式($\ref{ガンマ関数変形後}$)の極限と積分を交換することができます。

\begin{align}
\Gamma(x) &= \int_{0}^{\infty}\lim_{n\rightarrow \infty}f_{n} (t) dt \\[0.7em]
&= \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{\infty} f_{n}(t) dt \\[0.7em]
&= \lim_{n\rightarrow \infty} \Gamma_{n} (x) \label{ルベーグ後}
\end{align}

ただし,

\begin{align}
\Gamma_{n} (x) &= \int_{0}^{\infty} f_{n}(t)dt
\end{align}

と置きました。ここで,

\begin{align}
u &= \frac{t}{n}
\end{align}

と置くと,以下のように$\Gamma_{n}(x)$を変形できます。

\begin{align}
\Gamma_{n}(x) &= n^{x-1} \int_{0}^{\infty} u^{x-1} (1-u)^{n} \cdot ndu \\[0.7em]
&= n^{x} \int_{0}^{\infty} u^{x-1} (1-u)^{n} du \\[0.7em]
&= n^{x} B(x, n+1)
\end{align}

ただし,$B(\cdot, \cdot)$はベータ関数を表します。ここで,ガンマ関数と階乗の関係ガンマ関数とベータ関数の関係を利用すると,

\begin{align}
\Gamma_{n}(x) &= n^{x}\frac{\Gamma(x)\Gamma(n+1)}{\Gamma(x+n+1)} \\[0.7em]
&= n^{x}\frac{\Gamma(x)n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x\Gamma(x)} \\[0.7em]
&= n^{x}n! \prod_{m=0}^{n}\frac{1}{x+m} \label{ベータ関数変形後}
\end{align}

と変形できます。ただし,$x\neq0,-1\ldots$とします。以上より,式($\ref{ルベーグ後}$)と式($\ref{ベータ関数変形後}$)を用いることで,式($\ref{主題}$)が導かれます。

定義域を複素数に拡張すると,$x\neq0,-1\ldots$というのは「負の整数に極を持つ」と表現されます。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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