【徹底解説】ルベーグの収束定理

zuka

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zuka(@beginaid)です。

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ルベーグの収束定理

$I$を$\mathbb{R}$上の区間とし,$f_1, \cdots$は$I$上の連続関数とする。$f$,$g$が$I$上の可積分な連続関数であり,全ての$x\in I$に対して$f_n(x)$は$f(x)$に収束して$|f_n(x)|\leq g(x)$が成立するとき,下記のように極限の積分の順序を交換することができる。

\begin{align}
\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{I} f_{n}(x) d x=\int_{I} f(x) dx
\end{align}

ただし,$I$上で可積分とは以下を満たすことを指します。

\begin{align}
\int_{I} |f(x)| dx < \infty
\end{align}

期待値と極限の順序交換や,ガンマ関数の無限乗積表示の証明に利用される定理です。

証明

本稿の範囲を逸脱してしまうため,証明は割愛します。要望があれば追記します。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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