【徹底解説】ゴンぺルツ分布とは

2022年6月23日

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ゴンぺルツ分布
ロードマップ
参考文献

ゴンぺルツ分布

\begin{aligned} (1) & f_{X} (x) & = c \exp (b x - \frac{c}{b} e^{b x} + \frac{c}{b}) \end{aligned}

ゴンぺルツ（Gompertz）分布は，危険率が $c e^{b x}$ である確率分布として導入されます。ゴンぺルツ分布に従う確率変数 $X$ に対し，実現値は

\begin{array}{r} (2) & x \in R_{+} \end{array}

であり，モーメント母関数・平均・分散は複雑なので割愛します。

確率密度関数

ゴンぺルツ分布は，危険率が $l (t) = c e^{b t}$ で与えられる確率分布として定式化されます。危険率に基づく確率密度関数の導出より，危険率を $l (\cdot)$ とおくと，確率密度関数 $f$ は以下のように表されるのでした。

\begin{aligned} (3) & f (t) & = - \frac{d}{d t} \exp (- \int_{0}^{t} l (u) d u) \end{aligned}

証明へ

$l (t) = c e^{b t}$ を代入します。

\begin{aligned} (4) & f (t) & = - \frac{d}{d t} \exp (- \int_{0}^{t} c e^{b u} d u) \\ (5) & = - \frac{d}{d t} \exp (- \frac{c}{b} e^{b t} + \frac{c}{b}) \\ (6) & = - \frac{d}{d t} (- \frac{c}{b} e^{b t}) \cdot \exp (- \frac{c}{b} e^{b t} + \frac{c}{b}) \\ (7) & = c \exp (b t - \frac{c}{b} e^{b t} + \frac{c}{b}) \end{aligned}

モーメント母関数

ゴンぺルツ分布のモーメント母関数は複雑な形をしているため，割愛します。

平均・分散

ゴンぺルツ分布の平均・分散は複雑な形をしているため，割愛します。

再生性

再生性を示すためには，再生性を示したい分布に従う独立な二つの確率変数を考え，その和のモーメント母関数を計算したときに，パラメータが和の形になっていることを示します。上でお伝えした通り，ゴンぺルツ分布のモーメント母関数は複雑な形をしており，モーメント母関数の積を考えても同じ関数の形に帰着しないため，ゴンぺルツ分布に再生性はありません。

ロードマップ

ゴンぺルツ分布はロードマップには含まれていませんが，危険率が $c e^{b t}$ となる確率分布として導出されました。以下の内容も参考になるでしょう。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。

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