本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
部分空間の写像
あくまでもイメージですが，$F$が$V$から$W$への写像として定義されているため，$V$の部分空間を定義域とする写像の終域は必ず$W$の部分空間になりそうですよね。
証明
$F(V_{1})$がベクトル空間$W$の部分空間の定義を満たすことを確認します。すなわち，
- 加法に閉じている
- スカラー倍に閉じている
- ゼロベクトルを含む
を満たすことを確認します。まず，$w_{1},w_{2}\in F(V_{1})$に対し，像の定義から
\begin{align}
F(v_{1}) &= w_{1} \\[0.7em]
F(v_{2}) &= w_{2}
\end{align}
F(v_{1}) &= w_{1} \\[0.7em]
F(v_{2}) &= w_{2}
\end{align}
を満たす$v_{1},v_{2}\in V_{1}$が存在します。$F$は線型変換ですので，
\begin{align}
F(v_{1}+v_{2}) &= F(v_{1})+F(v_{2}) \\[0.7em]
&= w_{1}+w_{2}
\end{align}
F(v_{1}+v_{2}) &= F(v_{1})+F(v_{2}) \\[0.7em]
&= w_{1}+w_{2}
\end{align}
が成り立ちます。ベクトル空間の部分空間の定義より，$v_{1}+v_{2}\in V_{1}$であることに注意すると，$w_{1}+w_{2}\in F(V_{1})$となります。同様に，$F$は線型変換ですので，任意の実数$c$に対して
\begin{align}
F(cv_{1}) &= cF(v_{1}) \\[0.7em]
&= cw_{1}
\end{align}
F(cv_{1}) &= cF(v_{1}) \\[0.7em]
&= cw_{1}
\end{align}
が成り立ちます。ベクトル空間の部分空間の定義より，$cv_{1}\in V_{1}$であることに注意すると，$cw_{1}\in F(V_{1})$となります。特に，$c=0$と置くと$\vzero \in F(V_{1})$となります。以上より，$F(V_{1})$がベクトル空間の部分空間の定義を満たすことを示せたため，$F(V_{1})$はベクトル空間$W$の部分空間となります。
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