【徹底解説】ガウスによるガンマ関数の無限乗積表示

2022年2月21日

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ガウスのガンマ関数無限乗積表示
証明
参考文献

ガウスのガンマ関数無限乗積表示

ガンマ関数は，以下のように無限乗積を用いて表すことができる。

\begin{aligned} (1) & Γ (x) & = lim_{n \to \infty} n! n^{x} \prod_{m = 0}^{n} \frac{1}{x + m} \end{aligned}

ただし， $x \neq 0, - 1, - 2 \dots$ である。

ガンマ関数の定義域は $x$ が実数のときは $x > 0$ でしたが，ガウスの無限乗積表示を用いると $x \neq 0, - 1 \dots$ に拡張することができます。定義域は複素数領域へ拡張することも可能です。

証明

積分を級数表示するために，ガンマ関数の積分表示ベータ関数で表すことを考えます。ガンマ関数とベータ関数の関係は極座標変換を用いて証明しましたが，今回はネイピア数の定義より無限級数に置き換えることによりベータ関数を出現させることを考えます。ガンマ関数の定義は

\begin{aligned} (2) & Γ (x) & = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} d t \end{aligned}

ですので，被積分関数をベータ関数の被積分関数の形である $t (1 - t)$ を出現させるために，ネイピア数側を少し変形してあげましょう。ネイピア数の定義より，

\begin{aligned} (3) & e^{- t} & = lim_{n \to \infty} {{(1 - \frac{t}{n})}^{- \frac{n}{t}}}^{- t} \\ (4) & = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{t}{n})}^{n} \end{aligned}

となりますので，ガンマ関数は以下のように表されます。

\begin{aligned} (5) & Γ (x) & = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{t}{n})}^{n} d t \\ (6) & = \int_{0}^{\infty} lim_{n \to \infty} f_{n} (t) d t \end{aligned}

ただし，

\begin{aligned} (7) & f_{n} (t) & = t^{x - 1} {(1 - \frac{t}{n})}^{n} \end{aligned}

と置きました。少しずつベータ関数の形に近づいてきました。ここで， $f_{n} (t)$ は連続かつ $[0, \infty]$ で可積分であり， $n \to \infty$ のときに $f_{n} (t)$ が可積分な関数 $t^{x - 1} e^{- t}$ に上から抑えられながら収束することを踏まえると，ルベーグの収束定理より式( $6$ )の極限と積分を交換することができます。

\begin{aligned} (8) & Γ (x) & = \int_{0}^{\infty} lim_{n \to \infty} f_{n} (t) d t \\ (9) & = lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_{n} (t) d t \\ (10) & = lim_{n \to \infty} Γ_{n} (x) \end{aligned}

ただし，

\begin{aligned} (11) & Γ_{n} (x) & = \int_{0}^{\infty} f_{n} (t) d t \end{aligned}

と置きました。ここで，

\begin{aligned} (12) & u & = \frac{t}{n} \end{aligned}

と置くと，以下のように $Γ_{n} (x)$ を変形できます。

\begin{aligned} (13) & Γ_{n} (x) & = n^{x - 1} \int_{0}^{\infty} u^{x - 1} (1 - u)^{n} \cdot n d u \\ (14) & = n^{x} \int_{0}^{\infty} u^{x - 1} (1 - u)^{n} d u \\ (15) & = n^{x} B (x, n + 1) \end{aligned}

ただし， $B (\cdot, \cdot)$ はベータ関数を表します。ここで，ガンマ関数と階乗の関係とガンマ関数とベータ関数の関係を利用すると，

\begin{aligned} (16) & Γ_{n} (x) & = n^{x} \frac{Γ (x) Γ (n + 1)}{Γ (x + n + 1)} \\ (17) & = n^{x} \frac{Γ (x) n!}{(x + n) (x + n - 1) \dots (x + 1) x Γ (x)} \\ (18) & = n^{x} n! \prod_{m = 0}^{n} \frac{1}{x + m} \end{aligned}

と変形できます。ただし， $x \neq 0, - 1 \dots$ とします。以上より，式( $10$ )と式( $18$ )を用いることで，式( $1$ )が導かれます。

定義域を複素数に拡張すると， $x \neq 0, - 1 \dots$ というのは「負の整数に極を持つ」と表現されます。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。

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