【徹底解説】多変量正規分布の標準化

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多変量正規分布の標準化

多変量正規分布$\N(\vmu, \Sigma)$に従う$\mX$に対し,以下で定義される確率変数

\begin{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}(\mX-\vmu)\label{線形変換}
\end{align}

は$\N(\vzero_n, I_n)$に従う。ただし,$\vzero_n$は$n$次元ゼロベクトル,$I_n$は$n$次元単位行列を表す。

$1$次元の場合と本質的には同じ操作を行っています。

証明

式($\ref{線形変換}$)を変形すると,

\begin{align}
\mZ &= \Sigma^{-1/2}\mX - \Sigma^{-1/2}\vmu
\end{align}

となります。多変量正規分布の線形変換の定理において,

\begin{align}
A = \Sigma^{-1/2},\quad \vb = -\Sigma^{-1/2}\vmu
\end{align}

を代入すると,$\mZ$もまた多変量正規分布に従い,その平均ベクトルは,

\begin{align}
A\vmu + \vb &= \Sigma^{-1/2}\vmu - \Sigma^{-1/2}\vmu = \vzero
\end{align}

となり,分散共分散行列は

\begin{align}
A\Sigma A^{T} &= \Sigma^{-1/2}\Sigma \left(\Sigma^{-1/2}\right)^{T}
= \Sigma^{1/2}\left(\Sigma^{T}\right)^{-1/2}
= \Sigma^{1/2}\Sigma^{-1/2}
= I_{n}
\end{align}

となります。ただし,$I_{n}$は$n$次元単位行列を表し,正則行列において逆行列の転置と転置の逆行列が等しくなること,および$\Sigma$が対称行列であることを利用しました。したがって,

\begin{align}
\mZ &\sim \N(\vzero_n, I_n)
\end{align}

が得られます。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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コメント

コメント一覧 (2件)

  • (2)におけるZの分散は線形変換の定理に従えば,Σ^(-1/2)Σ(Σ^(-1/2))^Tだと思いますが,なぜそのような結果になるのか教えていただきたいです.

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