【徹底解説】特性関数の性質

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特性関数の性質

$\varphi_{X}(\cdot)$を$X$の特性関数とするとき,次が成り立つ。

\begin{align}
\varphi_{X}^{(m)}(0) &= i^{m}E\left[X^m\right]
\end{align}

本質的には,モーメント母関数の性質と同様です。

証明

微分演算と期待値の順序交換より,

\begin{align}
\varphi_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}\varphi_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^{m}}{dt^{m}}E \left[ e^{itX} \right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[\frac{d^{m}}{dt^{m}} e^{itX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[ (iX)^{m} e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= i^{m}E\left[ X^{m} \right]
\end{align}

となります。

本質的には,微分と積分の順序交換が可能であることを仮定しています。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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