【徹底解説】特性関数の定義

zuka

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特性関数

特性関数$\phi_X(t)$は以下のように定義される。

\begin{align}
\phi_X(t) &= E\left[e^{itX}\right]
\end{align}

なお,特性関数の複素共役を利用すると,以下が成り立つ。

\begin{align}
\overline{\phi_X(-t)}
&= \overline{E[e^{-itX}]} \\[0.7em]
&= E\left[\overline{e^{-itX}}\right] \notag \\[0.7em]
&= E\left[e^{itX}\right] \\[0.7em]
&= \phi_X(t) \label{特性関数の複素共役}
\end{align}

特性関数はモーメント母関数の複素拡張です。本書では,中心極限定理の証明やコーシー分布の導出に利用しています。特性関数と確率密度関数はフーリエ変換対になっていることが知られています。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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