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目次
モーメント母関数の性質
$M_{X}(\cdot)$を$X$のモーメント母関数とするとき，次が成り立つ。
\begin{align}
M_{X}^{(m)}(0) &= E\left[X^m\right]
\end{align}
M_{X}^{(m)}(0) &= E\left[X^m\right]
\end{align}
モーメント母関数の真骨頂でもある定理です。モーメント母関数を$m$回微分して$0$を代入すると，$X$の$m$次モーメントを計算することができるのです。確率母関数では$t=1$を代入していましたが，モーメント母関数では$t=0$を代入する点に注意が必要です。
証明
\begin{align}
M_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E \left[ e^{tX} \right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[\frac{d^m}{dt^m} e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[ X^m e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= E\left[ X^m \right]
\end{align}
M_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E \left[ e^{tX} \right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[\frac{d^m}{dt^m} e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[ X^m e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= E\left[ X^m \right]
\end{align}
となります。
本質的には，微分と積分の順序交換が可能であることを仮定しています。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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