【徹底解説】モーメント母関数の性質

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

不適切な内容があれば,記事下のコメント欄またはお問い合わせフォームよりご連絡下さい。

目次

モーメント母関数の性質

$M_{X}(\cdot)$を$X$のモーメント母関数とするとき

\begin{align}
M_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= E\left[X^m\right]
\end{align}

モーメント母関数の真骨頂でもある定理です。モーメント母関数を$m$回微分して$0$を代入すると,$X$の$m$次モーメントを計算することができるのです。確率母関数では$t=1$を代入していましたが,モーメント母関数では$t=0$を代入する点に注意が必要です。

証明

\begin{align}
M_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E \left[ e^{tX} \right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m} \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f_{X}(x)dx\right|_{t=0}\\[0.7em]
&= \left.\frac{d^{(m-1)}}{dt^{(m-1)}} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{tx}f_{X}(x)dx\right|_{t=0}\\[0.7em]
&= \cdots \notag \\[0.7em]
&= \left. \int_{-\infty}^{\infty} x^m e^{tx}f_{X}(x)dx\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \int_{-\infty}^{\infty} x^m f_{X}(x)dx \\[0.7em]
&= E \left[ X^m \right]
\end{align}

なお,微分演算と期待値の順序交換を利用すれば,より直感的にモーメント母関数の性質を示すことができます。

\begin{align}
M_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E \left[ e^{tX} \right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[\frac{d^m}{dt^m} e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[ X^m e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= E\left[ X^m \right]
\end{align}

微分演算と期待値をボーッとして交換するのは好ましくありませんが,このような定理の証明以外の場面ではそこまで神経質になる必要はないと思います。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

シェアはこちらからお願いします!
URLをコピーする
URLをコピーしました!

コメント

コメントする

※スパム対策のためコメントは日本語で入力してください。

目次
目次
閉じる