【徹底解説】スターリングの近似のガンマ関数への拡張

zuka

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目次

スターリングの近似のガンマ関数への拡張

十分大きい正の実数$x$に対し,

\begin{align}
\Gamma(x) \simeq \sqrt{\frac{2\pi}{x}}\left(\frac{x}{e}\right)^{x}
\end{align}

が成り立つ。

証明

尺度母数$\lambda=1$のガンマ分布の特性関数は,以下のように表されます。

\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \frac{1}{(1-it)^{n}}
\end{align}

一方,ガンマ分布の確率密度関数を$f_{X}(x)$と置くと,特性関数の一意性おける反転公式を利用すると以下が得られます。

\begin{align}
f_{X}(n) &= \frac{1}{\Gamma(n)}\frac{n^{n-1}}{e^n} \\[0.7em]
&= \frac{1}{n\Gamma(n)}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \\[0.7em]
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itn}\phi_{X}(t)dt \\[0.7em]
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-itn}}{(1-it)^{n}}dt
\end{align}

ここで,$u=\sqrt{n}t$と置くと,$f_{X}(n)$は以下のように変形できます。

\begin{align}
\frac{1}{n\Gamma(n)}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\sqrt{n}u}}{(1-iu/\sqrt{n})^{n}}\frac{du}{\sqrt{n}} \\[0.7em]
&= \frac{1}{2\pi\sqrt{n}}\int_{-\infty}^{\infty}g(n) du
\end{align}

ただし,

\begin{align}
g(n) &= \frac{e^{-i\sqrt{n}u}}{(1-iu/\sqrt{n})^{n}}
\end{align}

と置きました。ここで,$n\rightarrow \infty$のときの$g(n)$の極限を考えたいのですが,$g(n)$は分数関数になっているため,対数を取って多項式にしてあげましょう。

\begin{align}
\log g(n) &= -i\sqrt{n}u - n\log\left(1-\frac{iu}{n}\right)\label{1} \\[0.7em]
&= -i\sqrt{n}u + n\left\{\frac{iu}{\sqrt{n}}-\frac{u^2}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right\}\label{2} \\[0.7em]
&= -\frac{u^2}{2}+o(1)
\end{align}

ただし,式($\ref{1}$)から式($\ref{2}$)は$\log (1+x)$のマクローリン展開

\begin{align}
\log (1+x) &= x-\frac{1}{2}x^2+\cdots
\end{align}

を利用し,$o(h(n))$はスモールオー記号,すなわち$h(n)$よりも高次の無限小を表します。したがって,以下が成り立ちます。

\begin{align}
\lim_{n\rightarrow \infty}f_{X}(n) &= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n\Gamma(n)}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\label{3}\\[0.7em]
&= \frac{1}{2\pi\sqrt{n}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{u^2/2} du \label{4}\\[0.7em]
&= \frac{1}{2\pi\sqrt{n}}\cdot \sqrt{2\pi}\label{5}\\[0.7em]
&= \sqrt{\frac{1}{2\pi n}}
\end{align}

ただし,式($\ref{3}$)から式($\ref{4}$)は積分と極限は変数が異なるために順序交換できることを利用し,式($\ref{4}$)から式($\ref{5}$)はガウス積分を利用しました。以上より,$n$が十分大きいときには以下が成り立ちます。

\begin{align}
\Gamma(n) &= \sqrt{2\pi n}\cdot \frac{1}{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \\[0.7em]
&= \sqrt{\frac{2\pi}{n}}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}
\end{align}

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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