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目次
ガンマ分布・ポアソン分布と負の二項分布
ガンマ分布とポアソン分布は，負の二項分布と深い関係があります。ポアソン分布のパラメータ$\lambda$がガンマ分布に従っているとき，それらの分布の混合が負の二項分布になります。定性的には，ガンマ分布に従って生成された$\lambda$を用いて定められるポアソン分布に関して，全ての考えられる$\lambda$を足し合わせた分布が負の二項分布になります。
さて，実際に計算していきます。ポアソン分布の定義域は$\{0,1,\ldots\}$で，ガンマ分布の定義域は$[0, \infty)$であることに注意して，ガンマ分布とポアソン分布の混合分布を計算します。
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \left(\frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda} \right)\cdot\left(\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \lambda^{\alpha-1}e^{-\beta \lambda}\right) d\lambda
&= \frac{\beta^\alpha}{x! \Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}
\lambda^{x+\alpha-1}e^{-(\beta + 1)\lambda} d\lambda \label{1}\\[0.7em]
&= \frac{\beta^\alpha}{x! \Gamma(\alpha)} \frac{\Gamma(x+\alpha)}{(\beta + 1)^{x+\alpha}} \label{2}
\end{align}
\int_{0}^{\infty} \left(\frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda} \right)\cdot\left(\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \lambda^{\alpha-1}e^{-\beta \lambda}\right) d\lambda
&= \frac{\beta^\alpha}{x! \Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}
\lambda^{x+\alpha-1}e^{-(\beta + 1)\lambda} d\lambda \label{1}\\[0.7em]
&= \frac{\beta^\alpha}{x! \Gamma(\alpha)} \frac{\Gamma(x+\alpha)}{(\beta + 1)^{x+\alpha}} \label{2}
\end{align}
ただし，式($\ref{1}$)から式($\ref{2}$)はガンマ分布の定義を代入しました。ここで，$\alpha$が正の整数のときは，ガンマ分布と階乗の関係が利用できますので，
\begin{align}
\frac{\beta^\alpha}{x! \Gamma(\alpha)} \frac{\Gamma(x+\alpha)}{(\beta + 1)^{x+\alpha}}
&= \frac{(x+\alpha-1)!}{x! (\alpha-1)!}\beta^{\alpha}(1+\beta)^{-(x+\alpha)} \label{3}\\[0.7em]
&= \frac{(x+\alpha-1)!}{x! (\alpha-1)!}\left(\frac{1-p}{p}\right)^{\alpha} p^{x+\alpha} \label{4}\\[0.7em]
&= {}_{x+\alpha-1}C_{\alpha - 1}p^{\alpha} (1-p)^{x}\label{5}
\end{align}
\frac{\beta^\alpha}{x! \Gamma(\alpha)} \frac{\Gamma(x+\alpha)}{(\beta + 1)^{x+\alpha}}
&= \frac{(x+\alpha-1)!}{x! (\alpha-1)!}\beta^{\alpha}(1+\beta)^{-(x+\alpha)} \label{3}\\[0.7em]
&= \frac{(x+\alpha-1)!}{x! (\alpha-1)!}\left(\frac{1-p}{p}\right)^{\alpha} p^{x+\alpha} \label{4}\\[0.7em]
&= {}_{x+\alpha-1}C_{\alpha - 1}p^{\alpha} (1-p)^{x}\label{5}
\end{align}
と変形できます。ただし，式($\ref{3}$)から式($\ref{4}$)は
\begin{align}
\beta &= \frac{p}{1-p}
\end{align}
\beta &= \frac{p}{1-p}
\end{align}
と置き，式($\ref{4}$)から式($\ref{5}$)は二項系数の定義を利用しました。
以上をまとめると，$\lambda$の確率的な変動をガンマ分布として考慮した分布が負の二項分布になるということです。さらに，式(\ref{3})で連続値であるガンマ関数を離散値である階乗として表していることから，負の二項分布はガンマ分布の離散バージョンであるという解釈もできます。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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