【徹底解説】多変量正規分布の4次モーメント

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多変量正規分布の4次モーメント

共分散の定義を考えれば分かりやすい性質です。

証明

多変量モーメント母関数の性質より，モーメント母関数$E[e^{{\theta }^{T}X}]$のマクローリン展開における${\theta }_i{\theta }_j{\theta }_k{\theta }_l$の係数が$E[X_i{X}_j{X}_k{X}_l]$の値となります。そこで，多変量正規分布のモーメント母関数をマクローリン展開します。

${\theta }_i{\theta }_j{\theta }_k{\theta }_l$が出現する項は，

です。$\theta =({\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4)$の場合に${\theta }^T\mathrm{\Sigma }\theta$の要素を書き下してみると，

となりますので，${\theta }^T\mathrm{\Sigma }\theta$から${\theta }_1{\theta }_2{\theta }_3{\theta }_4$として構成するための項を二つ選ぶ際には「${\theta }_1{\theta }_2$の係数は${\sigma }_{12}$」のように，$\theta$の添え字と$\sigma$の添え字が全く同じものになります。これは共分散の定義からも明らかとも言えます。したがって，${\theta }^T\mathrm{\Sigma }\theta$から${\theta }_i{\theta }_j$を選んだ場合の係数は${\sigma }_{ij}$となります。

式($\text{3}$)における${\theta }_i{\theta }_j{\theta }_k{\theta }_l$の係数を求めます。${\theta }^T\mathrm{\Sigma }\theta$を二回掛け合わせて${\theta }_i{\theta }_j{\theta }_k{\theta }_l$を完成させるためには，左側の${\theta }^T\mathrm{\Sigma }\theta$と右側の${\theta }^T\mathrm{\Sigma }\theta$で下表のように選んでいけばよいです。ここでは可読性向上のため，$(i,j,k,l)$を$(1,2,3,4)$と表記します。

左側の${\theta }^T\mathrm{\Sigma }\theta$	右側の${\theta }^T\mathrm{\Sigma }\theta$	${\theta }_1{\theta }_2{\theta }_3{\theta }_4$の係数
${\theta }_1{\theta }_2$	${\theta }_3{\theta }_4$	${\sigma }_{12}{\sigma }_{34}$
${\theta }_1{\theta }_2$	${\theta }_4{\theta }_3$	${\sigma }_{12}{\sigma }_{34}$
${\theta }_2{\theta }_1$	${\theta }_3{\theta }_4$	${\sigma }_{12}{\sigma }_{34}$
${\theta }_2{\theta }_1$	${\theta }_4{\theta }_3$	${\sigma }_{12}{\sigma }_{34}$
${\theta }_1{\theta }_3$	${\theta }_2{\theta }_4$	${\sigma }_{13}{\sigma }_{24}$
${\theta }_1{\theta }_3$	${\theta }_4{\theta }_2$	${\sigma }_{13}{\sigma }_{24}$
${\theta }_3{\theta }_1$	${\theta }_3{\theta }_4$	${\sigma }_{13}{\sigma }_{24}$
${\theta }_3{\theta }_1$	${\theta }_4{\theta }_2$	${\sigma }_{13}{\sigma }_{24}$
${\theta }_1{\theta }_4$	${\theta }_2{\theta }_3$	${\sigma }_{14}{\sigma }_{23}$
${\theta }_1{\theta }_4$	${\theta }_3{\theta }_2$	${\sigma }_{14}{\sigma }_{23}$
${\theta }_4{\theta }_1$	${\theta }_2{\theta }_3$	${\sigma }_{14}{\sigma }_{23}$
${\theta }_4{\theta }_1$	${\theta }_3{\theta }_2$	${\sigma }_{14}{\sigma }_{23}$
${\theta }_2{\theta }_3$	${\theta }_1{\theta }_4$	${\sigma }_{23}{\sigma }_{14}$
${\theta }_2{\theta }_3$	${\theta }_4{\theta }_1$	${\sigma }_{23}{\sigma }_{14}$
${\theta }_3{\theta }_2$	${\theta }_1{\theta }_4$	${\sigma }_{23}{\sigma }_{14}$
${\theta }_3{\theta }_2$	${\theta }_4{\theta }_1$	${\sigma }_{23}{\sigma }_{14}$
${\theta }_2{\theta }_4$	${\theta }_1{\theta }_3$	${\sigma }_{24}{\sigma }_{13}$
${\theta }_2{\theta }_4$	${\theta }_3{\theta }_1$	${\sigma }_{24}{\sigma }_{13}$
${\theta }_4{\theta }_2$	${\theta }_1{\theta }_3$	${\sigma }_{24}{\sigma }_{13}$
${\theta }_4{\theta }_2$	${\theta }_3{\theta }_1$	${\sigma }_{24}{\sigma }_{13}$
${\theta }_3{\theta }_4$	${\theta }_1{\theta }_2$	${\sigma }_{34}{\sigma }_{12}$
${\theta }_3{\theta }_4$	${\theta }_2{\theta }_1$	${\sigma }_{34}{\sigma }_{12}$
${\theta }_4{\theta }_3$	${\theta }_1{\theta }_2$	${\sigma }_{34}{\sigma }_{12}$
${\theta }_4{\theta }_3$	${\theta }_2{\theta }_1$	${\sigma }_{34}{\sigma }_{12}$

したがって，${\theta }_1{\theta }_2{\theta }_3{\theta }_4$の係数としては，

となります。$(1,2,3,4)$を$(i,j,k,l)$に戻して式($\text{3}$)に代入すると，

となります。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。