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多変量正規分布の4次モーメント
平均$\vzero$の多変量正規分布$\N(\vzero,\Sigma)$に従う確率ベクトルを$(X_{1},\ldots,X_{n})$とし，$X$の要素の$4$次モーメントを考える。添え字$i,j,k,l$の重複有無にかかわらず
E[X_{i}X_{i}X_{k}X_{l}] &= \sigma_{ij}\sigma_{kl}+\sigma_{ik}\sigma_{jl}+\sigma_{il}\sigma_{jk}
\end{align}
となる。
共分散の定義を考えれば分かりやすい性質です。
証明
多変量モーメント母関数の性質より，モーメント母関数$E[e^{\theta^{T}X}]$のマクローリン展開における$\theta_{i}\theta_{j}\theta_{k}\theta_{l}$の係数が$E[X_{i}X_{j}X_{k}X_{l}]$の値となります。そこで，多変量正規分布のモーメント母関数をマクローリン展開します。
E[e^{\theta^{T}X}] &= 1+\theta^{T}\Sigma\theta/2+\frac{1}{2!}(\theta^{T}\Sigma\theta/2)^{2}+\cdots
\end{align}
$\theta_{i}\theta_{j}\theta_{k}\theta_{l}$が出現する項は，
\frac{1}{2!}(\theta^{T}\Sigma\theta/2)^{2} &= \frac{1}{8}(\theta^{T}\Sigma\theta)\cdot (\theta^{T}\Sigma\theta)\label{3.20_注目する項}
\end{align}
です。$\theta=(\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\theta_{4})$の場合に$\theta^{T}\Sigma\theta$の要素を書き下してみると，
\theta^{T}\Sigma\theta &=
(\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\theta_{4})
\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} & \sigma_{14}\\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} & \sigma_{24}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} & \sigma_{34}\\
\sigma_{41} & \sigma_{42} & \sigma_{43} & \sigma_{44}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\theta_{1}\\
\theta_{2}\\
\theta_{3}\\
\theta_{4}
\end{pmatrix}
\end{align}
となりますので，$\theta^{T}\Sigma\theta$から$\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}\theta_{4}$として構成するための項を二つ選ぶ際には「$\theta_{1}\theta_{2}$の係数は$\sigma_{12}$」のように，$\theta$の添え字と$\sigma$の添え字が全く同じものになります。これは共分散の定義からも明らかとも言えます。したがって，$\theta^{T}\Sigma\theta$から$\theta_{i}\theta_{j}$を選んだ場合の係数は$\sigma_{ij}$となります。
式($\ref{3.20_注目する項}$)における$\theta_{i}\theta_{j}\theta_{k}\theta_{l}$の係数を求めます。$\theta^{T}\Sigma\theta$を二回掛け合わせて$\theta_{i}\theta_{j}\theta_{k}\theta_{l}$を完成させるためには，左側の$\theta^{T}\Sigma\theta$と右側の$\theta^{T}\Sigma\theta$で下表のように選んでいけばよいです。ここでは可読性向上のため，$(i,j,k,l)$を$(1,2,3,4)$と表記します。
| 左側の$\theta^{T}\Sigma\theta$ | 右側の$\theta^{T}\Sigma\theta$ | $\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}\theta_{4}$の係数 |
|---|---|---|
| $\theta_{1}\theta_{2}$ | $\theta_{3}\theta_{4}$ | $\sigma_{12}\sigma_{34}$ |
| $\theta_{1}\theta_{2}$ | $\theta_{4}\theta_{3}$ | $\sigma_{12}\sigma_{34}$ |
| $\theta_{2}\theta_{1}$ | $\theta_{3}\theta_{4}$ | $\sigma_{12}\sigma_{34}$ |
| $\theta_{2}\theta_{1}$ | $\theta_{4}\theta_{3}$ | $\sigma_{12}\sigma_{34}$ |
| $\theta_{1}\theta_{3}$ | $\theta_{2}\theta_{4}$ | $\sigma_{13}\sigma_{24}$ |
| $\theta_{1}\theta_{3}$ | $\theta_{4}\theta_{2}$ | $\sigma_{13}\sigma_{24}$ |
| $\theta_{3}\theta_{1}$ | $\theta_{3}\theta_{4}$ | $\sigma_{13}\sigma_{24}$ |
| $\theta_{3}\theta_{1}$ | $\theta_{4}\theta_{2}$ | $\sigma_{13}\sigma_{24}$ |
| $\theta_{1}\theta_{4}$ | $\theta_{2}\theta_{3}$ | $\sigma_{14}\sigma_{23}$ |
| $\theta_{1}\theta_{4}$ | $\theta_{3}\theta_{2}$ | $\sigma_{14}\sigma_{23}$ |
| $\theta_{4}\theta_{1}$ | $\theta_{2}\theta_{3}$ | $\sigma_{14}\sigma_{23}$ |
| $\theta_{4}\theta_{1}$ | $\theta_{3}\theta_{2}$ | $\sigma_{14}\sigma_{23}$ |
| $\theta_{2}\theta_{3}$ | $\theta_{1}\theta_{4}$ | $\sigma_{23}\sigma_{14}$ |
| $\theta_{2}\theta_{3}$ | $\theta_{4}\theta_{1}$ | $\sigma_{23}\sigma_{14}$ |
| $\theta_{3}\theta_{2}$ | $\theta_{1}\theta_{4}$ | $\sigma_{23}\sigma_{14}$ |
| $\theta_{3}\theta_{2}$ | $\theta_{4}\theta_{1}$ | $\sigma_{23}\sigma_{14}$ |
| $\theta_{2}\theta_{4}$ | $\theta_{1}\theta_{3}$ | $\sigma_{24}\sigma_{13}$ |
| $\theta_{2}\theta_{4}$ | $\theta_{3}\theta_{1}$ | $\sigma_{24}\sigma_{13}$ |
| $\theta_{4}\theta_{2}$ | $\theta_{1}\theta_{3}$ | $\sigma_{24}\sigma_{13}$ |
| $\theta_{4}\theta_{2}$ | $\theta_{3}\theta_{1}$ | $\sigma_{24}\sigma_{13}$ |
| $\theta_{3}\theta_{4}$ | $\theta_{1}\theta_{2}$ | $\sigma_{34}\sigma_{12}$ |
| $\theta_{3}\theta_{4}$ | $\theta_{2}\theta_{1}$ | $\sigma_{34}\sigma_{12}$ |
| $\theta_{4}\theta_{3}$ | $\theta_{1}\theta_{2}$ | $\sigma_{34}\sigma_{12}$ |
| $\theta_{4}\theta_{3}$ | $\theta_{2}\theta_{1}$ | $\sigma_{34}\sigma_{12}$ |
したがって，$\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}\theta_{4}$の係数としては，
4\cdot 2\cdot\sigma_{12}\sigma_{34}
+4\cdot 2\cdot\sigma_{13}\sigma_{24}
+4\cdot 2\cdot\sigma_{14}\sigma_{23}
&= 8(\sigma_{12}\sigma_{34}+\sigma_{13}\sigma_{24}+\sigma_{14}\sigma_{23})
\end{align}
となります。$(1,2,3,4)$を$(i,j,k,l)$に戻して式($\ref{3.20_注目する項}$)に代入すると，
\sigma_{ij}\sigma_{kl}+\sigma_{ik}\sigma_{jl}+\sigma_{il}\sigma_{jk}
\end{align}
となります。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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