【徹底解説】ディガンマ関数の無限級数表示

zuka

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目次

ディガンマ関数の無限級数表示

ディガンマ関数$\psi(x)$は,以下のように無限級数で表すことができる。

\begin{align}
\psi(x) &= -\gamma + \sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{x+n}\right) \label{主題}
\end{align}

ただし,ディガンマ関数$\psi(x)$とオイラー定数$\gamma$は以下のように定義され,$\Gamma(x)$はガンマ関数を表す。

\begin{align}
\psi(x) &= \frac{d}{dx} \log \Gamma(x) \\[0.7em]
\gamma &= \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)
\end{align}

ガンマ関数と関わりの深いディガンマ関数ですが,ガンマ関数の無限乗積表示を用いることでディガンマ関数を無限級数で表すことが可能になります。

証明

無限乗積表示としてガウスによる表現Weierstrassによる表現のどちらを利用しても良いのですが,今回はWeierstrassによる表現を利用しましょう。両辺の対数を取ります。

\begin{align}
-\log \Gamma(x) &= \log x + \gamma x + \sum_{n=1}^{\infty}\left\{ \log\left( 1+\frac{x}{n} \right)-\frac{x}{n} \right\}
\end{align}

両辺を$x$で微分します。

\begin{align}
-\psi(x) &= \frac{1}{x} + \gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1/n}{1+x/n}-\frac{1}{n} \right) \\[0.7em]
&= \frac{1}{x} + \gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{x+n}-\frac{1}{n} \right) \\[0.7em]
&= \gamma + \sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{1}{x+n}-\frac{1}{n+1} \right) \\[0.7em]
\end{align}

したがって,以下が導かれます。

\begin{align}
\psi(x) &= -\gamma + \sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{x+n} \right)
\end{align}

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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