【徹底解説】Weierstrassによるガンマ関数の無限乗積表示

zuka

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目次

Weierstrassのガンマ関数無限乗積表示

ガンマ関数は,実数$x$を用いて以下のように無限乗積で表すことができる。

\begin{align}
\frac{1}{\Gamma(x)} &= xe^{\gamma x}\prod_{n=1}^{\infty}\left( 1+\frac{x}{n} \right) e^{-x/n} \label{主題}
\end{align}

ガンマ関数の定義域は$x$が実数のときは$x>0$でしたが,Weierstrassの無限乗積表示を用いると全実数に拡張することができます。定義域は複素数領域へ拡張することも可能です。

証明

ガウスのガンマ関数無限乗積表示の逆数を取ります。

\begin{align}
\frac{1}{\Gamma(x)} &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n! n^{x}} \prod_{m=0}^{n}(x+m) \\[0.7em]
&= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x}{n^{x}} \prod_{m=1}^{n}\frac{x+m}{m} \\[0.7em]
&= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x}{n^{x}} \prod_{m=1}^{n}\left(1+\frac{x}{m}\right) \\[0.7em]
&= x\lim_{n\rightarrow \infty}e^{-x\log n} \prod_{m=1}^{n}\left(1+\frac{x}{m}\right) \\[0.7em]
&= x\lim_{n\rightarrow \infty}\exp\left\{\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)x\right\} \prod_{m=1}^{n}\left(1+\frac{x}{m}\right)e^{-x/m} \label{変形後}
\end{align}

ここで,

\begin{align}
\gamma &= \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right) \label{オイラー定数}
\end{align}

と置きます。

$\gamma$はオイラー定数と呼ばれていて,無理数であるかどうかや円周率とどのような関係があるのかといったことが分かっておらず,数学上の未解決問題の一つになっています。

式($\ref{変形後}$)と式($\ref{オイラー定数}$)より,式($\ref{主題}$)が示されます。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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