本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
オイラー関数の性質
- 素数に対するオイラー関数
-
素数$p$に対しては，
\begin{align}
\varphi(p) = p-1,\quad
\varphi(p^{e}) = p^{e}-p^{e-1}
\end{align}が成り立つ。
- オイラー関数の乗法的性質
-
互いに素な自然数$a,b$に対して，
\begin{align}
\varphi(a,b) &= \varphi(a)\varphi(b)
\end{align}が成り立つ。
- オイラー関数の計算方法
-
自然数$n$の素因数分解を$n{=}p^{a}q^{b}r^{c}\cdots$とすると，
\begin{align}
\varphi(n) &= n\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\right)\left(1-\frac{1}{r}\right)\cdots
\end{align}が成り立つ。
- オイラー関数の和
-
自然数$n$の正の約数の集合を$D$とおくと，
\begin{align}
\sum_{d\in D}\varphi(d) &= n
\end{align}が成り立つ。
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