本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理
有界実数列$(a_{n})_{n\in\mN}$は常に収束する部分列を持つ。
有界閉区間がコンパクトであることを主張しています。対象は実数列であることに注意してください。
証明
ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理の証明には，区間縮小法を利用します。そこで，区間縮小法を利用するための準備をしましょう。区間縮小法を利用するためには，単調減少である有界閉区間の列$(I_{n})_{n\in\mN}$に対し，$I_{n}=[a_{n},b_{n}]$と定めたときに
\lim_{n\rarr\infty}(b_{n}-a_{n}) &= 0\label{仮定}
\end{align}
をみたす必要があります。そこで，まずは単調減少である有界閉区間の列$(I_{n})$を定めましょう。$(a_{n})$は有界ですから，有界の定義より，ある$b,c\in\mR$が存在して，
a_{n}\in [b,c]
\end{align}
となります。我々のミッションは，$b_{0}=b,c_{0}=c$として，この有界閉区間から式($\ref{仮定}$)をみたすように$I_{1},I_{2},\ldots$を帰納的に定めていくことです。最もシンプルに考えるのであれば，二分探索のイメージで，幅を半分にしていくように区間を狭めていけばよさそうです。そこで，区間の中点を$d_{n}=(b_{n}+c_{n})/2$とおきます。このとき，$[b_{n},d_{n}]$と$[d_{n},c_{n}]$の少なくとも一方は$n\in\mN$に対する$a_{n}$を無限に含みます。なぜなら，両方とも$a_{n}$を無限に含まないと仮定すると，$I_{n},I_{n-1},\ldots$のすべてで$a_{n}$を無限に含まないことになり，特に$I_{0}=[b,c]$が$a_{n}$を無限に含まないことから，$(a_{n})$が有界であることに矛盾するからです。
そこで，$a_{n}$を無限に含む区間を$I_{n+1}$と定義します。ただし，両方が$a_{n}$を無限に含む場合は，$[d_{n},c_{n}]$を$I_{n+1}$と定義します。すると，$I_{n}$は$n$が大きくになるにつれて区間幅が$1/2$倍になっていきますので，$(I_{n})$は単調減少列となります。極限と四則演算が交換可能であることに注意すると，アルキメデスの原理より
\lim_{n\rarr\infty}(c_{n}-b_{n}) &= \lim_{n\rarr\infty}\left\{2^{-n}(c-b)\right\} = \left(\lim_{n\rarr\infty}2^{-n}\right)\cdot(c-b) = 0
\end{align}
が成り立ちます。これにて，区間縮小法を利用する準備が整いました。区間縮小法より，
\lim_{n\rarr\infty}b_{n} &= \lim_{n\rarr\infty}c_{n} = a\label{区間縮小法}
\end{align}
となる実数$a$が存在します。いま，すべての$n\in\mN$に対して$I_{n}$は$a_{n}$を無限に含む区間として定義していますので，任意の$n\in\mN$を一つ定めたときに，$a_{m}\in I_{n}$となる$m\in\mN$が無限に存在します。すなわち，すべての$k\in\mN$に対して，$a_{n(k)}\in I_{k}$となる自然数列$n(k)$で，
n(0) < n(1) < \cdots < n(k) < \cdots
\end{align}
となるものが存在します。$(a_{n})$の部分列を作るため，各区間で一つの代表点を取ってくるイメージです。このとき，部分列の定義より，$(a_{n(k)})$は$(a_{n})$の部分列となり，すべての$k$に対して
b_{k}\leq a_{n(k)}\leq c_{k}\label{はさみうち}
\end{align}
が成り立ちます。式($\ref{区間縮小法}$)，式($\ref{はさみうち}$)とはさみうちの原理より，
\lim_{k\rarr\infty}a_{n(k)} &= a
\end{align}
となります。すなわち，部分列$(a_{n(k)})$は$a$に収束することが示されました。
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