本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
区間縮小法
有界閉区間の列$(I_{n})_{n\in\mN}$は単調減少で，$I_{n}=[a_{n},b_{n}]$とする。いま，
\lim_{n\rarr\infty}(b_{n}-a_{n}) &= 0\label{仮定}
\end{align}
ならば，すべての$I_{n}$に共通して含まれる実数$a$が唯一つ存在する。すなわち，
\bigcap_{n\in\mN}I_{n} &= \{a\}
\end{align}
が成り立つ。また，このとき
\lim_{n\rarr\infty}a_{n} &= \lim_{n\rarr\infty}b_{n} = a
\end{align}
である。
ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理の証明をはじめ，様々な定理の証明に利用される概念です。
証明
区間縮小法の証明は，大きく分けて二つのフェーズから構成されます。
- 共通元の存在
- 共通元の具体的な値
1. 共通元の存在
全ての区間$I_{n}$に共通して含まれる元が存在すること，すなわち
\bigcap_{n\in\mN}I_{n} &\neq \phi
\end{align}
を証明します。まず，$(I_{n})_{n\in\mN}$が単調減少であることから，
a_{0}\leq a_{1}\leq \cdots\leq a_{n}\leq b_{n} \leq \cdots \leq b_{1} \leq b_{0}
\end{align}
が得られます。すなわち，$(a_{n})$は上に有界な単調増加数列，$(b_{n})$は下に有界な単調減少数列となります。すると，有界数列の収束性より，
\lim_{a\rarr\infty}a_{n}=a,\quad \lim_{a\rarr\infty}b_{n}=b
\end{align}
となる$a,b$が存在し，$a$は$(a_{n})$の上限，$b$は$(b_{n})$の上限となります。いま，極限は順序を保存することに注意すると，すべての$n{\in}\mN$に対して$a_{n}{\leq}b_{n}$であることから，$a{\leq}b$が成り立ちます。したがって，閉区間$J{=}[a,b]{\neq}\phi$をとることができます。このとき，すべての$n{\in}\mN$に対して
a_{n}\leq a\leq b\leq b_{n}\label{内包}
\end{align}
が成り立ちます。$J$の定義より，すべての$n\in\mN$に対して$I_{n}\supset J$となりますので，
\bigcap_{n\in\mN}I_{n} \supset J \neq \phi
\end{align}
が示されました。
2. 共通元の具体的な値
まず，式($\ref{内包}$)より，すべての$n\in\mN$に対して
a_{n}\leq a\leq b_{n}\label{1}
\end{align}
が分かります。一方$J$の定義より，すべての$n\in\mN$に対して
a_{n} \leq c \leq b_{n}\label{2}
\end{align}
が成り立ちます。すると，式($\ref{1}$)と式($\ref{2}$)より
0 \leq |a-c| \leq b_{n}-a_{n}
\end{align}
が得られます。ここで，仮定($\ref{仮定}$)を利用すると，はさみうちの原理より$a=c$が得られます。$c$は$J$の任意の元ですから，式($\ref{1}$)に注意すると$a\in J$であることが分かります。すなわち，
\bigcap_{n\in\mN}I_{n} &= \{a\}
\end{align}
となります。また，極限と四則演算が交換可能であることに注意すると，仮定($\ref{仮定}$)より$a=b$が成り立ちます。したがって，$(a_{n})$と$(b_{n})$はともに$a$に収束することが示されます。
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