本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
アルキメデスの原理
任意の二つの実数$a>0$，$b>0$に対して，$na>b$となる自然数$n$が存在する
アルキメデスの原理から自然数全体の集合$\mN$が上に有界でないことが導かれます。
証明
背理法を利用します。任意の二つの実数$a>0$，$b>0$に対して，$na\leq b$となる自然数$n$が存在すると仮定します。このとき，数列$(na)_{n\in\mN}$全体の集合を$A$とおくと，上界の定義より，$b$は$A$の上界となります。したがって，上に有界な単調増加数列が上限に収束することより，$(na)_{n\in\mN}$は$A$の上限$s$に収束します。すると，上限の定義から，すべての$n\in\mN$に対し
na\leq s\label{1}
\end{align}
となります。一方で，$a>0$より$s-a<s$が成り立ち，$s-a$は$A$の上界ではありませんので，
s-a < na\label{2}
\end{align}
をみたす$n\in\mN$が存在します。しかし，式($\ref{2}$)を変形すると
s < n(a+1)
\end{align}
となり，$n+1\in\mN$であることから，$s$が上限であること，すなわち式($\ref{1}$)に矛盾します。したがって，任意の二つの実数$a>0$，$b>0$に対して，$na>b$となる自然数$n$が存在します。
補足1
アルキメデスの原理より，$n\in\mN$，$a>0$に対し
\lim_{n\rarr\infty}na=+\infty
\end{align}
が成り立ちます。$a=1$を代入すると，
\lim_{n\rarr\infty}n &= +\infty\label{順数}
\end{align}
が得られます。すなわち，アルキメデスの原理から自然数全体の集合$\mN$が上に有界でないことが導かれました。
補足2
式($\ref{順数}$)より，
\lim_{n\rarr\infty}\frac{1}{n} &= 0\label{逆数}
\end{align}
が成り立ちます。一方，帰納法により簡単に確かめられるように，$a>1$に対して
n\leq a^{n},\quad \frac{1}{n}\geq\frac{1}{a^{n}}\label{帰納法}
\end{align}
が成り立ちます。式($\ref{順数}$)，式($\ref{逆数}$)，式($\ref{帰納法}$)より，
\lim_{n\rarr\infty}a^{n}=+\infty,\quad \lim_{n\rarr\infty}\frac{1}{a^{n}}=0
\end{align}
が得られます。同様に，$a<1$に対して
\lim_{n\rarr\infty}a^{n}=0,\quad \lim_{n\rarr\infty}\frac{1}{a^{n}}=+\infty
\end{align}
が得られます。
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