本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
コーシーの収束条件とワイヤストラスの公理の関係性
併せて連続性の公理もご確認ください。
証明
我々の目的は,コーシーの収束条件とアルキメデスの原理からワイヤストラスの公理を示すことです。すなわち,に上限が存在することを示します。ワイヤストラスの定理では上に有界な集合,コーシーの収束条件ではコーシー列を利用しますので,まずは上に有界な集合に基づいてコーシー列を作りましょう。やや天下り的ですが,の上界の集合の要素を使ってコーシー列となるようなを,の補集合の要素を使ってコーシー列となるようなを作ることを考えます。こうすることで,の上限を,上界の集合によって上からおさえると同時に,の補集合によって下からおさえることができるため,上限の存在を示すことができそうです。すなわち,直近の目標は
となるとを作ることです。そのために,まずは
を示しましょう。との要素を利用したいため,それぞれが空集合でないことを確認しておきます。に関しては,が上に有界であることから,となります。に関しては,に対して少なくともとなることから,となります。
に関して補足をしておきます。もしと仮定すると,がの補集合であることから,となります。の定義より,の要素に正数を足してもの要素となることから,となります。これはに矛盾します。したがって,となります。
いま,がの上界になり得ないの集合であることに注意すると,任意の,に対して,となるが存在します。また,はの上界の集合でしたから,が成り立ちます。したがって,式()が成り立ちます。
これで,式()をみたすとを作る準備が整いました。まず,とを適当に取り,帰納的にとを定めていきます。まで定まったとき,これらの中点
を考えます。ですので,少なくとももしくはの一方が成り立ちます。ですので,はもしくはの候補となります。具体的には,
とおくと,となりますから,は単調減少列,は単調増加列となります。すなわち,式()が成り立ちます。すると,のとき
が成り立ちます。ここで,アルキメデスの原理より
が成り立ちますので,とはコーシー列となります。ここまできて,ようやくコーシーの収束条件を使う準備が整いました。コーシーの収束条件より,コーシー列は収束しますから,
が内に存在します。しかし,式(),式(),式()と収束の定義に注意すると,でなくてはなりません。このとき,もし
であることが示せれば,上限の定義より,任意のに対してとなるが存在します。はの上界ではないことから,
をみたすが存在します。すなわち,任意のに対しとなるが存在しますから,はの上界ではありません。したがって,に注意すると,がの上界の最小元,すなわち上限であることが示せます。したがって,最後の目標は式()を示すことです。
そもそも,との定義から,全てのに対してとが成り立ちますが,はの上界の集合でしたので,全てのと全てのに対して
が成り立ちます。したがって,としても,全てのに対して
が成り立ちます。すなわち,がの上界であることが示され,式()が成り立つことが示されました。
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