【徹底解説】コーシーの収束条件とワイヤストラスの公理の関係

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

コーシーの収束条件とワイヤストラスの公理の関係性

コーシーの収束条件アルキメデスの原理を認める立場を取ると,ワイヤストラスの公理が成り立つ。

併せて連続性の公理もご確認ください。

証明

我々の目的は,コーシーの収束条件アルキメデスの原理からワイヤストラスの公理を示すことです。すなわち,A上限が存在することを示します。ワイヤストラスの定理では上に有界な集合,コーシーの収束条件ではコーシー列を利用しますので,まずは上に有界な集合Aϕに基づいてコーシー列を作りましょう。やや天下り的ですが,A上界の集合Bの要素を使ってコーシー列となるような(bn)nNを,Bの補集合Cの要素を使ってコーシー列となるような(cn)nNを作ることを考えます。こうすることで,Aの上限を,上界の集合Bによって上からおさえると同時に,Bの補集合Cによって下からおさえることができるため,上限の存在を示すことができそうです。すなわち,直近の目標は

(1)c0c1cnbnb1b0

となる(bn)(cn)を作ることです。そのために,まずは

(2)c<ab

を示しましょう。BCの要素を利用したいため,それぞれが空集合でないことを確認しておきます。Bに関しては,Aが上に有界であることから,Bϕとなります。Cに関しては,aAに対して少なくともa1Cとなることから,Cϕとなります。

a1Cに関して補足をしておきます。もしa1Cと仮定すると,CBの補集合であることから,a1Bとなります。Bの定義より,Bの要素に正数を足してもBの要素となることから,aBとなります。これはaAに矛盾します。したがって,a1Cとなります。

いま,CAの上界になり得ないxRの集合であることに注意すると,任意のbBcCに対して,c<aとなるaAが存在します。また,BAの上界の集合でしたから,abが成り立ちます。したがって,式(2)が成り立ちます。

これで,式(1)をみたす(bn)(cn)を作る準備が整いました。まず,b0Bc0Cを適当に取り,帰納的にb1,b2,c1,c2,を定めていきます。bn,cnまで定まったとき,これらの中点

(3)dn=bn+cn2

を考えます。dnBCですので,少なくともdnBもしくはdnCの一方が成り立ちます。ですので,dnbn+1もしくはcn+1の候補となります。具体的には,

  • dnBならばbn+1=dn, cn+1=cn
  • dnCならばbn+1=bn, cn+1=dn

とおくと,cndnbnとなりますから,(bn)は単調減少列,(cn)は単調増加列となります。すなわち,式(1)が成り立ちます。すると,p,qnのとき

(4)|bpbq|bncnb0c02n(5)|cpcq|bncnb0c02n

が成り立ちます。ここで,アルキメデスの原理より

(6)limnb0c02n=0

が成り立ちますので,(bn)(cn)コーシー列となります。ここまできて,ようやくコーシーの収束条件を使う準備が整いました。コーシーの収束条件より,コーシー列は収束しますから,

(7)limnbn=b,limncn=c

R内に存在します。しかし,式(4),式(5),式(6)と収束の定義に注意すると,b=cでなくてはなりません。このとき,もし

(8)b=c=supA

であることが示せれば,上限の定義より,任意のx<bに対してx<cn<bとなるnが存在します。cnCAの上界ではないことから,

(9)x<cn<ab

をみたすaAが存在します。すなわち,任意のxに対しx<aとなるaAが存在しますから,xAの上界ではありません。したがって,x<bに注意すると,bAの上界の最小元,すなわち上限であることが示せます。したがって,最後の目標は式(8)を示すことです。

そもそも,bncnの定義から,全てのnに対してbnBcnCが成り立ちますが,BAの上界の集合でしたので,全てのaAと全てのnNに対して

(10)abn

が成り立ちます。したがって,nとしても,全てのaAに対して

(11)ab

が成り立ちます。すなわち,bAの上界であることが示され,式(8)が成り立つことが示されました。

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