本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
数列の収束と極限
実数列$(a_{n})_{n\in\mN}$が実数$a$に収束するとは，どんな正数$\varepsilon{>}0$に対しても，ある自然数$n_{0}$が存在して，$n{\geq}n_{0}$をみたすすべての自然数$n$に対して$|a-a_{n}|{<}\varepsilon$となることをいう。このとき，$a$は$(a_{n})_{n\in\mN}$の極限であるといい，
\begin{align}
a &= \lim_{n\rarr\infty}a_{n}
\end{align}
a &= \lim_{n\rarr\infty}a_{n}
\end{align}
と表す。
$a_{n}$が$a$に収束するというのは，$a$と$a_{n}$の距離$|a-a_{n}|$が限りなく小さくなることを意味します。すなわち，どんな小さな正数$\varepsilon$をとっても十分大きな$n$に対し$|a-a_{n}|<\varepsilon$となることを意味します。これを言い換えると上の定義になり，イプシロンエヌ論法とよばれることもあります。
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