【徹底解説】次元数と一次独立な元の個数の関係

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

次元数と一次独立な元の個数の関係

$V$をベクトル空間とする。$\dim V=n$ならば,$V$には$n$個の一次独立な元が存在する。

ベクトル空間の次元数が一次独立な元の個数に対応するという定理です。

証明

本定理は基底と次元の定義を合体させたものと捉えられます。すなわち,基底と次元の定義より,$V$には$n$個の一次独立な元から構成される基底が存在し,その基底を$\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$とします。もし$\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$以外に一次独立な$V$の元が存在すると仮定すると,$V$の任意の元は$\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$の一次結合で表すことができるという基底の定義に反するため矛盾します。したがって,本定理の主張が示されました。

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