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目次
特性関数の性質
$\varphi_{X}(\cdot)$を$X$の特性関数とするとき，次が成り立つ。
\begin{align}
\varphi_{X}^{(m)}(0) &= i^{m}E\left[X^m\right]
\end{align}
\varphi_{X}^{(m)}(0) &= i^{m}E\left[X^m\right]
\end{align}
本質的には，モーメント母関数の性質と同様です。
証明
\begin{align}
\varphi_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}\varphi_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^{m}}{dt^{m}}E \left[ e^{itX} \right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[\frac{d^{m}}{dt^{m}} e^{itX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[ (iX)^{m} e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= i^{m}E\left[ X^{m} \right]
\end{align}
\varphi_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}\varphi_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^{m}}{dt^{m}}E \left[ e^{itX} \right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[\frac{d^{m}}{dt^{m}} e^{itX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[ (iX)^{m} e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= i^{m}E\left[ X^{m} \right]
\end{align}
となります。
本質的には，微分と積分の順序交換が可能であることを仮定しています。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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