本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
正則行列の積と正則性
行列$A_{1},\ldots,A_{n}$に対してつぎの二つは同値である。
- $A_{1},\ldots,A_{n}$はそれぞれ正則である
- 積$A_{1}\cdots A_{n}$は正則である
積をとる前後で正則性が保存されるイメージです。
証明
まずは「$A_{1},\ldots,A_{n}$はそれぞれ正則であるならば$A_{1}\cdots A_{n}$は正則である」ことを証明しましょう。$X=A_{n}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}$とすると，
\begin{alignat}{2}
(A_{1}\cdots A_{n})X &= (A_{1}\cdots A_{n})(A_{n}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}) &&= I_{n}\\[0.7em]
X(A_{1}\cdots A_{n}) &= (A_{n}^{-1}\cdots A_{1}^{-1})(A_{1}\cdots A_{n}) &&= I_{n}
\end{alignat}
(A_{1}\cdots A_{n})X &= (A_{1}\cdots A_{n})(A_{n}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}) &&= I_{n}\\[0.7em]
X(A_{1}\cdots A_{n}) &= (A_{n}^{-1}\cdots A_{1}^{-1})(A_{1}\cdots A_{n}) &&= I_{n}
\end{alignat}
となりますので，$X$は$A_{1}\cdots A_{n}$の逆行列になります。したがって，$A_{1}\cdots A_{n}$には逆行列が存在しますので，正則と同値な定義より$A_{1}\cdots A_{n}$は正則になります。
次に，「$A_{1}\cdots A_{n}$は正則であるならば$A_{1},\ldots,A_{n}$はそれぞれ正則である」ことを証明しましょう。正則行列の行列式は0でないことと積の行列式の関係より，
\begin{align}
\det(A_{1}\cdots A_{n}) &= \det(A_{1})\cdots\det(A_{n})\neq 0
\end{align}
\det(A_{1}\cdots A_{n}) &= \det(A_{1})\cdots\det(A_{n})\neq 0
\end{align}
が成り立ちます。したがって，行列式がスカラーであることに注意すると，
\begin{align}
\det(A_{1}) &\neq 0,\quad \ldots,\quad \det(A_{n}) \neq 0
\end{align}
\det(A_{1}) &\neq 0,\quad \ldots,\quad \det(A_{n}) \neq 0
\end{align}
が得られます。ふたたび正則行列の行列式は0でないことから，$A_{1},\ldots,A_{n}$はそれぞれ正則であることが示されました。
スカラーとは異なり行列の場合は$XY\neq 0$ならば$X\neq 0$かつ$Y\neq0$が成り立たないため注意が必要です。
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