【徹底解説】ベータ分布の上側確率と二項分布

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

不適切な内容があれば,記事下のコメント欄またはお問い合わせフォームよりご連絡下さい。

目次

ベータ分布と二項分布の関係性

ベータ分布の上側確率は,二項分布の累積質量関数と等しくなる。

\begin{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz
&= \sum_{x=0}^{k-1} {}_n C_{x}p^x (1-p)^{n-x}
\end{align}

ただし,$B(\cdot, \cdot)$はベータ関数を表す。

\begin{align}
B(a+1, b+1) &= \int_{0}^{1}\mu^a (1-\mu)^b d\mu
\end{align}

証明

ガンマ分布とポアソン過程の関係性を証明したときと同様に,部分積分を用いて示すことができます。

\begin{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz &= \left[\frac{-1}{n-k+1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k+1}}{B(k, n-k+1)} \right]_{p}^{1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+\frac{k-1}{n-k+1} \int_{p}^{1}\frac{z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}}{B(k, n-k+1)} dz \label{1}\\[0.7em]
&= \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+\frac{(k-1)}{(n-k+1)}\cdot \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)} \int_{p}^{1} z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}dz \label{2}\\[0.7em]
&= {}_n C_{n-k}\; p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+ \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k-1)\Gamma(n-k+2)}
\int_{p}^{1} z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}dz \label{3}\\[0.7em]
&= {}_n C_{n-k}\;p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}+\int_{p}^{1}\frac{z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}}{B(k-1, n-k+2)}dz\label{4}
\end{align}

ただし,式($\ref{1}$)から式($\ref{2}$)は整数$n$に対する以下の関係式を用い,

\begin{align}
\Gamma(n+1) &= n!
\end{align}

式($\ref{2}$)から式($\ref{3}$)は実数$x$に対する以下の関係性を用い,

\begin{align}
\Gamma(x+1) &= x\Gamma(x)
\end{align}

式($\ref{3}$)から式($\ref{4}$)はガンマ関数とベータ関数の関係性を用いました。この操作を次々適用していくことで,最終的に以下を得ます。

\begin{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz
&= \sum_{x=0}^{k-1} {}_n C_{x}p^x (1-p)^{n-x}
\end{align}

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

シェアはこちらからお願いします!
URLをコピーする
URLをコピーしました!

コメント

コメントする

※スパム対策のためコメントは日本語で入力してください。

目次
目次
閉じる