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目次
t分布と標準正規分布
$n\rightarrow \infty$のとき，自由度$n$のt分布の確率密度関数は標準正規分布の確率密度関数に収束する。
証明
t分布の確率密度関数において，$m=n/2$と置きます。
\begin{align}
f_{X}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2m}B(m, 1/2)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-(n+1)/2} \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m}\Gamma(m)\Gamma(1/2)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m\pi}\Gamma(m)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2}
\end{align}
f_{X}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2m}B(m, 1/2)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-(n+1)/2} \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m}\Gamma(m)\Gamma(1/2)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m\pi}\Gamma(m)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2}
\end{align}
ここで，$m\rightarrow \infty$を考えます。
\begin{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}f_{X}(x) &= \lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m\pi}\Gamma(m)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \label{二つの極限}
\end{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}f_{X}(x) &= \lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m\pi}\Gamma(m)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \label{二つの極限}
\end{align}
二つの極限をそれぞれ計算しましょう。式($\ref{二つの極限}$)の左側の極限は，スターリングの近似のガンマ関数への拡張より，被極限関数は
\begin{align}
\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}
&= \frac{\sqrt{2\pi/(m+1/2)}\left\{(m+1/2)/e\right\}^{m+1/2}}{\sqrt{m}\sqrt{2\pi/m}(m/e)^{m}} \\[0.7em]
&= \frac{e^{-1/2}(m+1/2)^{m}}{m^{m}} \\[0.7em]
&= e^{-1/2}\left(1+\frac{1}{2m}\right)^m
\end{align}
\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}
&= \frac{\sqrt{2\pi/(m+1/2)}\left\{(m+1/2)/e\right\}^{m+1/2}}{\sqrt{m}\sqrt{2\pi/m}(m/e)^{m}} \\[0.7em]
&= \frac{e^{-1/2}(m+1/2)^{m}}{m^{m}} \\[0.7em]
&= e^{-1/2}\left(1+\frac{1}{2m}\right)^m
\end{align}
となりますので，以下のように計算できます。
\begin{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}
&= e^{-1/2}\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2m}\right)^m \\[0.7em]
&= e^{-1/2}\lim_{m\rightarrow \infty}\left\{\left(1+\frac{1}{2m}\right)^{2m}\right\}^{1/2} \\[0.7em]
&= e^{-1/2}e^{1/2} \\[0.7em]
&= 1\label{一つ目の極限}
\end{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}
&= e^{-1/2}\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2m}\right)^m \\[0.7em]
&= e^{-1/2}\lim_{m\rightarrow \infty}\left\{\left(1+\frac{1}{2m}\right)^{2m}\right\}^{1/2} \\[0.7em]
&= e^{-1/2}e^{1/2} \\[0.7em]
&= 1\label{一つ目の極限}
\end{align}
一方，式($\ref{二つの極限}$)の右側の極限は，
\begin{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2}
&= \lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-1/2} \\[0.7em]
&= \lim_{m\rightarrow \infty}\left\{\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{(2m)/x^2}\right\}^{-x^2/2}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-1/2} \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}\cdot 1 \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}\label{二つ目の極限}
\end{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2}
&= \lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-1/2} \\[0.7em]
&= \lim_{m\rightarrow \infty}\left\{\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{(2m)/x^2}\right\}^{-x^2/2}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-1/2} \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}\cdot 1 \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}\label{二つ目の極限}
\end{align}
したがって，式($\ref{二つの極限}$)に式($\ref{一つ目の極限}$)と式($\ref{一つ目の極限}$)を代入すると，
\begin{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}f_{X}(x) &= 1\cdot e^{-x^2/2} \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}
\end{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}f_{X}(x) &= 1\cdot e^{-x^2/2} \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}
\end{align}
となり，自由度$n$が無限大のときに確率密度関数が標準正規分布の確率密度関数に収束することが示されました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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