【徹底解説】t分布と標準正規分布の関係

zuka

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目次

t分布と標準正規分布

$n\rightarrow \infty$のとき,自由度$n$のt分布の確率密度関数は標準正規分布の確率密度関数に収束する。

証明

t分布の確率密度関数において,$m=n/2$と置きます。

\begin{align}
f_{X}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2m}B(m, 1/2)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-(n+1)/2} \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m}\Gamma(m)\Gamma(1/2)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m\pi}\Gamma(m)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2}
\end{align}

ここで,$m\rightarrow \infty$を考えます。

\begin{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}f_{X}(x) &= \lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{2m\pi}\Gamma(m)}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2} \label{二つの極限}
\end{align}

二つの極限をそれぞれ計算しましょう。式($\ref{二つの極限}$)の左側の極限は,スターリングの近似のガンマ関数への拡張より,被極限関数は

\begin{align}
\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}
&= \frac{\sqrt{2\pi/(m+1/2)}\left\{(m+1/2)/e\right\}^{m+1/2}}{\sqrt{m}\sqrt{2\pi/m}(m/e)^{m}} \\[0.7em]
&= \frac{e^{-1/2}(m+1/2)^{m}}{m^{m}} \\[0.7em]
&= e^{-1/2}\left(1+\frac{1}{2m}\right)^m
\end{align}

となりますので,以下のように計算できます。

\begin{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(m+1/2)}{\sqrt{m}\Gamma(m)}
&= e^{-1/2}\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2m}\right)^m \\[0.7em]
&= e^{-1/2}\lim_{m\rightarrow \infty}\left\{\left(1+\frac{1}{2m}\right)^{2m}\right\}^{1/2} \\[0.7em]
&= e^{-1/2}e^{1/2} \\[0.7em]
&= 1\label{一つ目の極限}
\end{align}

一方,式($\ref{二つの極限}$)の右側の極限は,

\begin{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m-1/2}
&= \lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-m}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-1/2} \\[0.7em]
&= \lim_{m\rightarrow \infty}\left\{\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{(2m)/x^2}\right\}^{-x^2/2}\cdot\lim_{m\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x^2}{2m}\right)^{-1/2} \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}\cdot 1 \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}\label{二つ目の極限}
\end{align}

したがって,式($\ref{二つの極限}$)に式($\ref{一つ目の極限}$)と式($\ref{一つ目の極限}$)を代入すると,

\begin{align}
\lim_{m\rightarrow \infty}f_{X}(x) &= 1\cdot e^{-x^2/2} \\[0.7em]
&= e^{-x^2/2}
\end{align}

となり,自由度$n$が無限大のときに確率密度関数が標準正規分布の確率密度関数に収束することが示されました。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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