【徹底解説】ポリガンマ関数の無限級数表示

zuka

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ポリガンマ関数の無限級数表示

ポリガンマ関数$\psi^{(m)}(x)$は,以下のように無限級数で表すことができる。

\begin{align}
\psi^{(m)}(x) &= (-1)^{m+1}m!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(x+n)^{m+1}} \label{主題}
\end{align}

ただし,$\psi(x)$はディガンマ関数を表し,$n \in \bbN$とする。

ディガンマ関数の導関数として定義されるポリガンマ関数が,綺麗な無限級数で表されることを主張する定理です。積分で定義されることの多いガンマ関数の対数微分を,級数で表すことができるという便利な定理になります。

証明

ディガンマ関数の無限級数表示を$m$回微分するだけです。

\begin{align}
\psi^{(m)}(x) &= \frac{d^{m}}{dx^{m}}\left\{ -\gamma + \sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{x+n}\right) \right\} \\[0.7em]
&= -\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\frac{d^{m}}{dx^{m}}(x+n)^{-1}\right\} \\[0.7em]
&= (-1)^{m+1}m!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(x+n)^{m+1}}
\end{align}

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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