【徹底解説】ガンマ分布とポアソン過程

zuka

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目次

ガンマ分布とポアソン過程との関係

ガンマ分布はポアソン過程と密接な関係があります。ポアソン過程というのは,ポアソン分布において$\lambda$を$\lambda t$に拡張したものです。このように,「単位時間あたり」を任意の時間間隔$[0, t]$に拡張した概念を確率過程と呼びます。すなわち,ポアソン過程は以下のように表されます。

\begin{align}
f_{T}(t) &= \frac{(\lambda t)^{k}}{k!}e^{-\lambda t}
\end{align}

ここで,ガンマ分布とポアソン過程の定性的な理解を今一度確認しましょう。ガンマ分布は,ある事象が$n$回発生するまでの時間を表します。一方,ポアソン過程は区間$[0, w]$における事象の発生回数を表します。したがって,ガンマ分布を$W > w$で積分したものは,事象が$n$回発生するまでに要する時間が$w$よりも長い確率を表します。これは,区間$[0, w]$における事象の発生回数が$n$未満である確率に等しいため,ガンマ分布の累積密度関数とポアソン過程の累積密度関数には以下のような関係があります。

\begin{align}
\int_{w}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} t^{n-1} e^{-\lambda t} dt
&= \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(\lambda w)^k}{k!}e^{-\lambda t} \label{ガンマ分布とポアソン過程}
\end{align}

ここからは,式(\ref{ガンマ分布とポアソン過程})の妥当性を数式を使って裏付けてみましょう。指数分布の定義より,ある製品が危険率$\lambda$の下で故障するまでの時間$Y$は,

\begin{align}
Y\sim \mathrm{Exp}(\lambda)
\end{align}

となります。これを$n$個の製品について考えます。$Y_1, \ldots, Y_n$が独立に$\mathrm{Exp(\lambda)}$に従うとすれば,

\begin{align}
W &= Y_1+\ldots+Y_n
\end{align}

は$n$個の製品が故障するまでの時間を表しています。一方,ガンマ分布の定義から,

\begin{align}
W &\sim \Ga(n, \lambda)
\end{align}

となります。上でお伝えしたポアソン過程の定義より,$[0, w]$に故障する製品の個数$X$は$\Po (\lambda w)$に従いますので,先ほどの式(\ref{ガンマ分布とポアソン過程})は改めて以下のように表すことができます。

\begin{align}
P(W > w) = P(X \leq n-1)
\end{align}

すなわち,ガンマ分布の上側累積確率とポアソン分布の下側累積確率に関係性があるということです。式(\ref{ガンマ分布とポアソン過程})は,部分積分と$\Gamma(n)=(n-1)!$を用いて確認することができます。左辺のガンマ分布の累積密度関数を部分積分してみましょう。

\begin{align}
\int_{w}^{\infty}\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} t^{n-1}e^{-\lambda t}dt
&= \frac{\lambda^n}{(n-1)!} \int_{w}^{\infty}
t^{n-1}\left(-\frac{e^{-\lambda t}}{\lambda} \right)'dt \\[0.7em]
&= \frac{(\lambda w)^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda w} + \int_{w}^{\infty} \frac{\lambda^{n-1}}{(n-2)!}t^{n-2}e^{-\lambda t} dt\\[0.7em]
&= \frac{(\lambda w)^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda w} + \int_{w}^{\infty} \frac{\lambda^{n-1}}{\Gamma(n-1)}t^{n-2}e^{-\lambda t} dt
\end{align}

この操作を繰り返し適用することで,式(\ref{ガンマ分布とポアソン過程})が導かれます。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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