【徹底解説】F分布の対称性

zuka

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目次

F分布の対称性

$X\sim F(p,q)$のとき,$X^{-1}\sim F(q,p)$である。

主にF検定を用いる際に注意が必要な性質です。

証明

F分布の定義は,$U\sim\chi^2(p)$,$V\sim\chi^2(q)$に対し

\begin{align}
X &= \frac{U/p}{V/q}
\end{align}

が従う分布でした。したがって,

\begin{align}
X^{-1} &= \frac{V/q}{U/p}
\end{align}

はF分布の定義において$p$と$q$を置き換えた分布に一致します。すなわち,

\begin{align}
X^{-1} &\sim F (q,~p)
\end{align}

が示されました。

以上の証明は「F分布の定義より明らか」とされることが多いです。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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