【徹底解説】フェルマーの小定理

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

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フェルマーの小定理

素数$p$と$p$と互いに素な正の整数$a$に対し,以下が成り立つ。

\begin{align}
a^{p-1}\equiv 1\pmod p
\end{align}

フェルマーの最終定理と区別するために,フェルマーの小定理という名前が付けられています。また,フェルマーの小定理はフェルマー自身によって証明されたわけではなく,ライプニッツによって証明されました。

証明

オイラーの定理において$m$が素数$p$である場合を考えます。オイラー関数の性質より,

\begin{align}
\varphi(p) &= p\left(1-\frac{1}{p}\right) = p-1
\end{align}

となります。したがって,上の定理が導かれます。

素数の定義より,素数の約数はその数自身以外となりますので,$\varphi(p)=p-1$は自明ともいえます。

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