本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
コーシー列の性質
コーシー列はつぎの性質を持つ。
- コーシー列は有界である
- コーシー列のある部分列が$a$に収束すれば，コーシー列も$a$に収束する
併せてコーシー列の定義もご確認ください。
証明
どちらの命題においてもコーシー列を$(a_{n})_{n\in\mN}$とおき，それぞれを証明していきます。
1. の証明
任意の$\varepsilon>0$を一つ選びます。収束の定義より，その$\varepsilon$に対しある$n_{1}\in\mN$が存在して，$n,m\geq n_{1}$のとき
|a_{m}-a_{n}| < \varepsilon
\end{align}
となりますから，$m=n_{1}$とすることで
a_{n_{1}}-\varepsilon<a_{n}<a_{n_{1}}+\varepsilon
\end{align}
となります。そこで，少なくとも
M &= \max\{|a_{0}|,|a_{1}|,,\ldots,|a_{n_{1}-1}|,|a_{n_{1}}-\varepsilon|,|a_{n_{1}}+\varepsilon|\}
\end{align}
とおけば，すべての$n\in\mN$に対し$|a_{n}|\leq M$となります。
2. の証明
$(a_{n})$がコーシー列であることから，任意の$\varepsilon>0$に対し$n_{0}\in\mN$が存在して，$m,n\geq n_{0}$のとき
|a_{m}-a_{n}| < \frac{\varepsilon}{2}\label{コーシー}
\end{align}
が成り立ちます。一方，$(a_{n})$の部分列を$(a_{n(k)})_{k\in\mN}$とおくと，部分列が$a$に収束する仮定から，任意の$\varepsilon>0$に対し$k_{0}\in\mN$が存在して，$k\geq k_{0}$ならば
|a-a_{n(k)}| < \frac{\varepsilon}{2}
\end{align}
が成り立ちます。いま，$m_{0}=\max(n_{0},k_{0})$とおきます。すると，部分列の定義より$k\leq n(k)$となりますので，$k\geq m_{0}$となる$k$を選べば$n(k),k\geq n_{0}$となります。これらと式($\ref{コーシー}$)より，
|a_{n(k)}-a_{k}| < \frac{\varepsilon}{2}
\end{align}
が成り立ちます。いま，絶対値の性質より，
|a-a_{k}| &= |a-a_{n(k)}+a_{n(k)}-a_{k}| \leq |a-a_{n(k)}|+|a_{n(k)}-a_{k}| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
\end{align}
が成り立ちます。極限の定義より，これは$(a_{k})$の極限が$a$であることを示しています。
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