本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
元によって張られる部分空間
元によって張られる部分空間は「生成される」部分空間ともよばれます。
証明
$W$がベクトル空間$V$の部分空間の定義を満たすことを確認します。すなわち，
- 加法に閉じている
- スカラー倍に閉じている
- ゼロベクトルを含む
を満たすことを確認します。$u,v\in W$に対し，$W$は$v_{1},\ldots,v_{n}$の一次結合で表されるため，ある実数$a_{1},\ldots,a_{n}$と$b_{1},\ldots,b_{n}$で
\begin{align}
u &= a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}\\[0.7em]
v &= b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}
\end{align}
u &= a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}\\[0.7em]
v &= b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}
\end{align}
となる$a_{1},\ldots,a_{n}$と$b_{1},\ldots,b_{n}$が存在します。いま，
\begin{align}
u+v &= (a_{1}+b_{1})v_{1}+\cdots+(a_{n}+b_{n})v_{n} \\[0.7em]
cu &= (ca_{1})v_{1}+\cdots+(ca_{n})v_{n} \label{スカラー倍}
\end{align}
u+v &= (a_{1}+b_{1})v_{1}+\cdots+(a_{n}+b_{n})v_{n} \\[0.7em]
cu &= (ca_{1})v_{1}+\cdots+(ca_{n})v_{n} \label{スカラー倍}
\end{align}
が成り立ちます。$u+v$と$cu$が一次結合で表されるため，いずれも$W$の元となることが分かります。特に，式($\ref{スカラー倍}$)で$c=0$とすると，ゼロベクトルも$W$の元となることが分かります。以上より，$W$がベクトル空間$V$の部分空間であることが示されました。
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